M/N = √2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M² = 2N². Поскольку M² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.

Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M² = 4K². Чуть ранее мы показали, что M² = 2N², поэтому 2N² = 4K². Разделив на 2, получим N² = 2K². Следовательно, число N² четное, а значит, и N – тоже четное.

Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √2 можно записать как I/J, – неверно. Таким образом, иррациональность √2 доказана.

Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.

Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число √4. Разумеется, это не так; √4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает.

Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.

Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа[280] и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.