Исчисление

Calculus

Русским словом исчисление принято переводить английское calculus, которое, в свою очередь, происходит от латинского слова, обозначающего камень или гальку. Его современное использование в математике восходит к операции счета или учета расходов и доходов с помощью счетных камешков (так же как многие люди делают это, даже в наши дни, с помощью счет). Мы видим след этого происхождения в общем английском термине «calculation», который используется для обозначения множества различных методов и операций для обработки информации, и в русской «калькуляции» с несколько более узким значением.

Математика признает несколько видов исчисления (например, исчисление высказываний, лямбда-исчисление, вариационное исчисление). Но один конкретный метод обработки математических данных настолько важен и произвел такой эффект на ученые умы, что когда люди произносят «calculus» без каких-либо пояснений, то подразумевается именно он – математический анализ.

В этом понимании «calculus» – это метод Анализа и Синтеза в применении к изучению гладко меняющихся процессов, или функций. Две ветви математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, отражают этот метод. Дифференциальное исчисление снабжает нас методами для анализа поведения на очень малых отрезках, тогда как интегральное исчисление предоставляет методы для синтеза такой локальной информации в глобальное понимание.

Выдающимся приложением математического анализа, которое имел в виду Ньютон, развивая этот предмет, является описание движения. Можно ввести такие понятия, как скорость и ускорение, для того, чтобы охарактеризовать движение на очень коротких отрезках времени (дифференциальное исчисление), или, наоборот, можно использовать информацию о скорости и ускорении, чтобы вычислять орбиты (интегральное исчисление). В классической механике законы о силах предоставляют информацию об ускорении тела. Важной задачей в классической физике является задача о том, как использовать эту информацию: понять, как движется тело в ответ на известное ускорение. Это задача интегрального исчисления: понять что-то большее из знания малого.

Калибровочная симметрия

Gauge symmetry

Это еще один термин для локальной симметрии.

Калибровочная частица

Gauge particle

Чтобы обеспечить выполнение локальной (калибровочной) симметрии, необходимо ввести соответствующие флюиды, чьи свойства специально подобраны для этой цели. В Главной теории по этой причине появились гравитационный, сильный, слабый и электромагнитный флюиды. Наименьшие единицы, или кванты, этих флюидов – гравитоны, цветные глюоны, виконы и фотоны – по этой причине называются калибровочными частицами. Этот термин звучит обыденно, однако за ним скрывается глубокий и красивый факт: частицы, с помощью которых передаются фундаментальные взаимодействия Природы, являются воплощениями симметрии.

Качественный и количественный

Qualitative/quantitative

Мы говорим, что понятие, теория, представление или измерение являются количественными, когда они выражаются числами. В противном случае они качественные. «Числа», используемые в количественном описании, могут быть натуральными числами, действительными числами, комплексными числами или какими-то другими, в зависимости от задачи.

Мы также говорим о полуколичественных концепциях, теориях, представлениях или измерениях, когда они выражены с использованием чисел, но не вполне точно или последовательно. Мы можем обнаружить, что различные ученые-практики, используя ту же самую полуколичественную физическую теорию, выводят из нее различные следствия в зависимости от того, каким образом они дополняют плохо определенные части теории.

Слово «качественный» может также использоваться для усиления следующим образом. Говоря, что идея или явление качественно новы, мы подразумеваем, что это не просто дальнейшая разработка или углубление того, что было известно прежде, а нечто принципиально другое, так что старое и новое нельзя сравнивать количественно. Например, волновые функции квантовой теории качественно отличаются от орбит классической физики, чье место они заняли теперь.

Квант (единица материи), кванты

Quantum (unit of matter)/quanta

Объекты, которые мы обычно называем элементарными частицами, считаются, согласно нашей Главной теории, возмущениями в квантовых флюидах. Таким образом, фотоны – это возмущения в электромагнитном флюиде, электроны – возмущения в электронном флюиде, глюоны – возмущения в глюонном флюиде, частицы Хиггса – возмущения в флюиде Хиггса и т. д. Если мы рассматриваем движение этих флюидов согласно правилам классической физики, мы видим, что их энергия может принимать непрерывный ряд значений. Но когда мы рассматриваем их согласно правилам квантовой теории, мы обнаруживаем, что разрешенные возмущения существуют в виде неделимых единиц, а именно в виде чего-то, что мы признаем элементарными частицами!

См. главным образом статью о Фотоне, чтобы узнать больше о кванте электромагнитного поля – исходных «квантах света» Планка и Эйнштейна.

Квантование

Quantization

Этот термин используется в трех различных смыслах: в общем, в конкретном специальном значении и как элемент жаргона.

Общий смысл: когда мы отображаем, или, как мы говорим, проецируем непрерывную величину на набор дискретных значений, мы говорим, что подвергли эту величину квантованию. Другими словами, процесс квантования превращает аналоговую величину в ее цифровое представление. Квантование в этом смысле является самой обычной практикой в современной инженерии и обработке информации, потому что цифровые величины легче передать и хранить их точные значения, чем аналоговые величины. (См. Аналоговый и Цифровой, чтобы узнать больше.) За некоторыми, очень специальными исключениями современные компьютеры работают лишь с цифровой информацией, и поэтому значения аналоговых сигналов, таких как интенсивность света, квантуются еще до того, как они будут введены. Эта операция называется квантованием.

Важный результат квантовой механики состоит в том, что она квантует (в вышеуказанном смысле) многие величины, которые в классической физике были непрерывны. (За этим стоит Природа, или Творец, а не какой-то человек-инженер!) Примеры квантуемых в узком смысле величин и объектов:

• Энергия в электромагнитной волне. См. Фотон.

• Энергия в атоме. Согласно классической механике отрицательно заряженный электрон может двигаться вокруг положительно заряженного протона по многим слегка отличающимся орбитам, что позволяет ему иметь непрерывный диапазон энергий. В квантовой механике разрешенные орбиты отличаются дискретно, т. е. являются квантованными, и, следовательно, разрешенные энергии тоже. (См. Стационарное состояние, Спектры (атомный, молекулярный и прочие) и подробное обсуждение с рисунками в главе «Квантовая красота I».)