Кеплер собирался написать систематический трактат по астрономии, подобный «Синтаксису» Птолемея, сделав для других планет то же, что сделал для Марса. Книга должна была называться «Гиппарх» в честь великого астронома. Но хотя Кеплеру удалось добиться значительного прогресса в части, касающейся движения Луны, разные обстоятельства заставили его изменить свой план, и вместо «Гиппарха» он написал более элементарный учебник Epitome astronomiae copernicanae в трех частях, первая из которых была опубликована в 1618 году в Линце, куда Кеплер переехал в 1612 году в качестве «провинциального математика»; две остальные части последовали в 1620 и 1621 годах. Этот труд предполагал, что два первых закона Кеплера, которые сначала были доказаны только для Марса, распространяются и на другие планеты. Что касается Луны, то Кеплер нашел введение эллиптического движения в теорию очень хлопотным делом вследствие изменчивости эксцентриситета, и в течение ряда лет он вносил множество изменений в свое представление наблюдаемых долгот. Должно быть, он часто завидовал предшественникам, которые могли ввести эпицикл, чтобы объяснить каждое новое неравенство. Независимо от Браге Кеплер нашел годовое уравнение Луны. Солнечное затмение 7 марта (по новому стилю) 1598 года, а также лунное затмение в феврале и пасхальное полнолуние произошли на час с лишним позже, чем гласил составленный им календарь, а лунное затмение в августе того же года случилось раньше, чем ожидалось. Поэтому в календаре на 1599 год Кеплер предположил, что период обращения Луны относительно Солнца зимой немного длиннее, чем летом. В январе 1599 года Герварт фон Хоненбург предложил ему более полно объяснить этот вопрос, и Кеплер в своем ответе высказал гипотезу, что Луна может задерживаться в своем движении под действием исходящей от Солнца силы, которая зимой, когда Земля и Луна находятся ближе к Солнцу, больше, чем летом. Причиной этого явления может быть также то, что скорость вращения Земли зависит от расстояния от Земли до Солнца, то есть она немного быстрее зимой, так что в это время года Луне, по-видимому, требуется больше времени, чем летом, чтобы описать точно такую же дугу. Эта мысль далее развивается в Epitome. Кеплер применил такую же поправку, как и Браге, с использованием другого уравнения времени для Луны, но величину годового уравнения, которая у Браге составила 4,5′, Кеплер нашел верно: II′[353].

Новые планетные таблицы – «Рудольфинские», над которыми Кеплер работал на протяжении многих лет, были опубликованы в 1627 году в Ульме под личным надзором Кеплера, который для этого оставил Линц и перебрался в Ульм в конце предыдущего года. Весьма характерный для благородства автора жест: прямо на титульном листе он заявил, что таблицы содержат возрожденную астрономию, задуманную и осуществленную Тихо Браге, «фениксом астрономов».

Но задолго до завершения этой работы гений Кеплера одержал еще один триумф: открытие третьего закона движения планет. Он содержится в его труде Harinonices Mundi Libri Y, «Гармонии мира», опубликованном в Линце в 1619 году в продолжение «Тайн мироздания», завершая, к удовлетворению автора, цепочку идей о гармонии мира, занимавших его ум с юности.

Надо помнить, что главным желанием Кеплера, когда он приехал к Тихо Браге в Чехию, было получить способ вычисления более точных значений средних расстояний и эксцентриситетов планет, чтобы проверить его теорию пяти правильных многогранников. Когда после многих лет кропотливого труда он вычислил расстояния на основе наблюдений Браге, оказалось, что теория лишь приблизительно верна, поскольку соседние планетные сферы неточно совпадают со сферами, вписанными в соответствующие многогранники или описанными вокруг них. Из этого Кеплер сделал вывод, что расстояния планет от Солнца берутся не просто из правильных геометрических тел, каковая идея, казалось бы, подтверждается тем обстоятельством, что максимальные и минимальные расстояния двух планет дают четыре соотношения, то есть во всей планетной системе содержатся двадцать отношений расстояний последовательно расположенных планет, в то время как геометрические тела дают только пять. Отклонение устройства мира от пяти правильных тел, а также меняющиеся расстояния между планетами в процессе их обращения являются следствием «гармонии мира», и эту гармонию следует искать в наибольших и наименьших расстояниях планет от Солнца, поскольку требуется найти закон, определяющий форму орбиты, то есть эксцентриситет. Сами расстояния не производили такого впечатления, будто между ними существует какая-либо гармония, из чего следовало, что его нужно искать в движениях планет (in ipsis motibus, non in intervallis), то есть в угловых скоростях с точки зрения общего источника движения – Солнца. В нижеследующей таблице для каждой планеты приведена гелиоцентрическая угловая скорость (суточное движение) в афелии и перигелии.

Здесь мы можем сразу же отметить, что гармония для Кеплера – это всего лишь математическая концепция; он не воображает, будто в самом деле существует какая-то «музыка сфер»: «lam soni in coelo nulli existunt, пес tarn turbulentus est motus, ut ex attritu aurae coelestis eliciatur stridor». Суточная гелиоцентрическая угловая скорость в секундах представляет число колебаний определенного тона, но по мере изменения скорости в процессе обращения тон не остается одним и тем же, но проходит через музыкальный интервал, длина которого зависит от эксцентриситета и может быть легко определена, если за наименьшую скорость считать число колебаний, которые основной тон совершает в единицу времени. Но положение интервала должно каким-то образом зависеть от абсолютной длины радиус-вектора, поэтому нужно найти закон, связывающий среднее движение (или период обращения) со средним расстоянием, так как если бы гармония небес существовала, то из нее можно было бы вычислить среднее расстояние. Это вычисленное расстояние затем нужно согласовать с наблюдаемым. После многочисленных попыток 15 мая 1618 года Кеплер открыл свой знаменитый третий закон, гласящий, что квадраты периодов обращения любых двух планет пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца. Этому закону он вскоре нашел применение не только для планет, но и для четырех недавно обнаруженных спутников Юпитера.

Итак, есть три способа, которыми созвучие может проявляться в движении планет. Во-первых, отношение самого медленного движения в афелии к самому быстрому движению в перигелии является интервалом по причине эксцентриситета планетной орбиты. Из приведенной выше таблицы видно, что интервалы почти идеально созвучны, так как диссонанс меньше полутона, за исключением случаев Земли и Венеры вследствие их малых эксцентриситетов. Во-вторых, крайние точки движения двух соседних планет можно сравнить двояко друг с другом, поскольку интервал можно либо взять от самого низкого тона (движение в афелии) внешней планеты до самого высокого тона (перигелий) следующей ниже планеты или от самого высокого тона внешней до самого низкого внутренней. Первый Кеплер называет расходящимся, а второй – сходящимся интервалом, и приведенная выше таблица показывает почти идеальное созвучие в обоих случаях, за исключением интервала между орбитами Марса и Юпитера, который согласуется с тетраэдром, а не с музыкальной теорией. В-третьих, созвучие может существовать между всеми шестью планетами.