Ограничения, накладываемые на мультиверс IV уровня: неразрешимость, невычислимость и неопределённость

Насколько велик мультиверс IV уровня? Прежде всего, существует бесконечно много конечных математических структур: их так же бесконечно много, как и чисел: 1, 2, 3, …, поскольку все их можно перечислить в одном пронумерованном списке. Но сколько в мультиверсе IV уровня бесконечных математических структур, где каждая состоит из бесконечного множества элементов? Мы видели, что некоторые бесконечные структуры также могут быть заданы и включены в основной список наряду с конечными структурами за счёт использования компьютерных программ, определяющих их отношения. Однако включение бесконечности вызывает множество онтологических проблем. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим математическую структуру, где элементами являются числа 1, 2, 3, …, над которыми определены три отношения (функции) — правила, которые получают на входе числа и определяют новое число согласно следующим определениям:

1. P(n) — для данного числа n, P(n) обозначает наименьшее простое число, большее чем n.

2. T(n) — для данного числа n, T(n) обозначает наименьшее простое число-близнец, большее n (парное простое число — такое, что ближайшее к нему число-близнец отличается от него на 2; примером простых чисел-близнецов служат числа 11 и 13).

3. H(m,n) — для данных двух чисел, m и n, H(m,n) равно 0, если m-ая компьютерная программа в нашем основном списке всех компьютерных программ будет работать бесконечно, если ей на вход подать число n, и H(m, n) равно 1, если, напротив, эта программа завершит работу, сделав конечное число шагов.

Подходит ли эта структура для включения в качестве члена в мультиверс IV уровня, или она недостаточно корректно определена? Первая функция, P(n), совершенно замечательна: нетрудно написать программу, которая начинает проверять, являются ли следующие за n числа простыми, и останавливается, как только находит такое. У нас есть гарантия, что эта программа остановится после конечного числа шагов, поскольку известно, что существует бесконечно много простых чисел (это доказал ещё Евклид). Так что P(n) — пример вычислимой функции.

Вторая функция, T(n), хитрее. Легко написать программу, которая проверяет каждое число, следующее за n, на предмет того, не является ли оно простым-близнецом. Но если подставить число n больше, чем 37 568 016 956 852666 669 —1 (это самое большое простое число-близнец, известное сейчас), то нет гарантии, что программа когда-нибудь остановится и даст ответ. Несмотря на все усилия математиков, мы до сих пор не знаем, бесконечно ли количество простых чисел-близнецов. Так что мы не знаем, является ли T(n) вычислимой, а значит, и строго определённой функцией. Таким образом, остаётся под вопросом, можно ли математическую структуру, содержащую такое неаккуратно заданное отношение, считать корректно определённой.

Третья функция, H(m,n), ещё более скверная: пионеры кибернетики Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг установили, что не существует программы, которая могла бы вычислить H(m, n) для произвольных аргументов m и n за конечное число шагов, так что H(m,n) — это пример невычислимой функции. Иными словами, не существует программы, способной определять, какие из других программ в конце концов остановятся. Конечно, любая программа либо остановится, либо нет, но хитрость в том, что, как и в случае с простыми числами-близнецами, вам, возможно, понадобится ждать окончания расчётов вечно. Открытие Черчем и Тьюрингом невычислимых функций тесно связано с открытием логиком Куртом Гёделем того факта, что некоторые арифметические теоремы неразрешимы, то есть их нельзя ни доказать, ни опровергнуть за конечное число шагов.

Следует ли рассматривать математические структуры как корректно определённые, даже если они содержат такие отношения, как H, которые нельзя вычислить и на сколь угодно мощном компьютере? Если да, то такая структура может быть известна лишь подобной оракулу сущности, которая способна реально выполнить бесконечное число вычислительных шагов, необходимых для получения ответа. Такие структуры никогда не появятся в обсуждавшемся выше основном списке: он учитывает лишь структуры, определимые с помощью обычных компьютерных программ, а не при участии всемогущего оракула.

Наконец, рассмотрим одну из самых популярных математических структур нашего времени — вещественные числа (наподобие 3,141 592…, где последовательность десятичных цифр тянется до бесконечности). Они образуют континуум, и для задания даже одного произвольного такого числа потребуется список из бесконечного числа цифр, то есть бесконечное количество информации. Это означает, что обычные компьютерные программы не способны обрабатывать такие числа: проблема касается не только выполнения бесконечного числа вычислительных шагов, как в примере с функцией H, но также ввода и вывода бесконечного количества информации.

С другой стороны, работа Гёделя может вызвать беспокойство: не лишена ли смысла ГМВ в применении к бесконечным структурам? Наша Вселенная тогда оказалась бы в некотором смысле противоречивой или неопределённой. Если принять тезис математика Давида Гильберта о том, что «математическое существование сводится, по сути, к отсутствию противоречий», то внутренне противоречивая структура не существует математически, не говоря уже о физическом существовании, как в ГМВ. Стандартная модель физики включает такие повседневно применяемые математические структуры, как целые и вещественные числа. Тем не менее работа Гёделя оставляет открытыми вопросы, не является ли повседневная математика внутренне противоречивой и не существует ли в рамках теории чисел доказательства конечной длины, демонстрирующего, что 0 = 1. На основе такого шокирующего результата можно было бы доказать, что любое синтаксически корректное утверждение о целых числах является истинным, и математика в том виде, как мы её знаем, обрушилась бы, подобно карточному домику.

Подобные сомнения относительно неразрешимости и внутренней противоречивости применимы лишь к математическим структурам, содержащим бесконечно много элементов. Присущи ли бесконечности, неразрешимости и потенциальные внутренние противоречия непосредственно фундаментальной физической реальности? Или это, по сути, миражи, артефакты, возникающие в результате нашей игры с огнём и применения мощных математических инструментов, которые скорее более удобны в использовании, нежели подходят для фактического описания нашей Вселенной? То есть — насколько корректно определёнными должны быть математические структуры, чтобы быть реальными, выступать членами мультиверса IV уровня?

Есть целый спектр интересных возможностей для квалификации структур: