Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и – y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим, менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.

На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения таких, например, задач:

В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) – их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то опытом – дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем

С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что 6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.

А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:

Обратите внимание, кстати, что (x + 5)² ≠ x² + 25: ошибку эту делают почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,

Главное, что нужно запомнить – формула разности квадратов двух переменных:

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:

Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d² = [A² – d²] + d² = A². Стало быть, это действительно для всего диапазона значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое в квадрат, а d – его разность с ближайшим круглым числом. Например, чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить

В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем, вот алгебраическая интерпретация метода сближения:

Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z² + zb + za + ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3, b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что

Обратите внимание, что при сложении наши множители дают 43 + 48 = 91 – тот же результат, что и менее сложные для подсчетов 40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a + b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a + b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,