Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.

Уравнение вроде

выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x² + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).

А теперь взгляните на x² + 9x = –13. Найти множители для x² + 9x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами:

имеет решение

Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении

a = 1, b = 4, c = –12.

Значит, наша формула утверждает, что

Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера более уместен был бы метод разложения на множители.