AC - это A с вероятностью p и C с вероятностью (1-p), а BC - это B с вероятностью p и C с вероятностью (1-p). Независимость требует, чтобы вы предпочли AC альтернативе BC. Вероятность C не влияет на ваше предпочтение между A и B. Или, по крайней мере, это один из способов интерпретации аксиомы.

Эта несколько странная аксиома смоделирована на аксиоме потребительского и политического выбора, которая стала известна как "независимость нерелевантных альтернатив". Если у вас есть выбор между A и B, и вы предпочитаете A B, вы все равно предпочтете A B, если будете выбирать из множества, содержащего A, B и C. В ресторане вам предлагают на выбор мясо или рыбу, и вы выбираете мясо. Затем официант говорит вам, что есть и вегетарианский вариант. Если вы скажете: "В таком случае я буду рыбу", вы нарушите аксиому независимости нерелевантных альтернатив (хотя, проявив немного изобретательности, вы сможете придумать причины для такого решения). Независимость иррелевантных альтернатив приобрела большое значение и известность, потому что американский экономист Кеннет Эрроу показал, что большинство правил принятия социальных и политических решений, таких как голосование большинством, приводят к предпочтениям группы, которые нарушают это требование.

Парадокс Алле отражает нарушение аксиомы независимости. Морис Алле первоначально задал следующий вопрос: что бы вы предпочли - 11%-ную вероятность выигрыша 100 млн. ф. ст. (иначе никак) или 10%-ную вероятность выигрыша 500 млн. ф. ст. и иначе никак? Большинство предпочло последнее, надеясь на больший приз и не беспокоясь о небольшом снижении вероятности успеха.

Затем Аллаис предложил довольно щедрую модификацию проблемы. Вы бы точно взяли 100 млн FF? Или вы предпочтете 89%-ную вероятность 100 млн FF, 10%-ную вероятность 500 млн FF и 1%-ную вероятность вообще ничего не получить? Большинство согласились, что при таком выборе они бы выбрали уверенность в 100 млн FF.

Затем Аллаис напомнил участникам об ожидаемой стоимости различных вариантов. Первый выбор был между ожидаемой стоимостью в 11 млн. ф. ст. (11% от 100 млн. ф. ст.) и ожидаемой стоимостью в 50 млн. ф. ст. (10% от 500 млн. ф. ст.). Второй выбор сравнивает 100 млн. ф. ст. наверняка с ожидаемой стоимостью, которую легко рассчитать, но которую обычно отвергают - 139 млн. ф. ст. И если вы внимательно рассмотрите эти два предложения, то увидите, что в обоих случаях вопрос заключается в том, компенсирует ли увеличение ожидаемого выигрыша на 39 млн. ф. ст. увеличение вероятности выигрыша на 1%.

Что бы здесь ни происходило, дело не в том, что обедающие были неспособны выполнить простую арифметику, необходимую для вычисления ожидаемой стоимости. Все призы представляли собой судьбоносные суммы денег, даже для Самуэльсона, уже автора бестселлера и будущего лауреата Нобелевской премии. Но мы подозреваем, что многие читатели уже сделали тот же выбор, что и обедающие, не задумываясь о ценности предлагаемых призов. Возможно, участниками двигал страх сожаления о том, что они уйдут с пустыми руками, даже если вероятность этого составляла всего 1%.

Затем Аллаис указал, что выбор нарушает предположение о максимизации ожидаемой полезности. Согласно этому предположению, первый выбор подразумевает, что

0,1×u(500) + 0,9×u(0) > 0,11×u(100) +0,89×u(0)

а второй вариант подразумевает, что

u(100) > 0,89×u(100) + 0,1×u(500) + 0,01×u(0).

Простая перестановка показывает, что первый выбор подразумевает, что

0,11×u(100) < 0,1×u(500) + 0,01×u(0)

а второй вариант подразумевает, что

0,11×u(100) > 0,1×u(500) + 0,01×u(0).

Но и то, и другое не может быть правдой, и поэтому, к некоторому замешательству, Аллаис продемонстрировал, что предпочтения большинства участников несовместимы с предположением, что они максимизируют ожидаемую полезность.

Было слышно, как Алле заметил - и впоследствии написал - "экспериментальное наблюдение за поведением людей, которых общественное мнение считает рациональными, опровергает принцип Бернулли". С соответствующей французской вежливостью Алле воздержался от того, чтобы подчеркнуть, что то, что он назвал принципом Бернулли, на самом деле было теорией рационального выбора в условиях неопределенности, которую разработали его коллеги по обеду. Но представление Аллаисом своего парадокса стало предтечей исследований поведения, отклоняющегося от определения рационального поведения экономистов - максимизации ожидаемой полезности. По сути, он основал то, что стало известно как поведенческая экономика - предмет, за который почти пятьдесят лет спустя Дэниел Канеман будет удостоен Нобелевской премии.

Сэвидж не смог отбросить последствия того приятного случая в Париже. Вернувшись в Чикаго из Парижа, он долго размышлял над тем постыдным фактом, что заявленные им предпочтения нарушали его собственные принципы рационального поведения. Он пришел к выводу, что совершил ошибку - не в формулировке аксиом, а в своих предпочтениях. Как он писал: "Есть, конечно, важный смысл, в котором предпочтения, будучи полностью субъективными, не могут быть ошибочными; но в другом, более тонком смысле они могут быть ошибочными ". Это кажется софистикой. Но, будучи уверенным в том, что он правильно понимает свои собственные предпочтения теперь, когда он прочно обосновался на американской земле, Сэвидж опубликовал в 1954 году свои магические "Основы статистики" и тем самым создал основу для современной теории принятия решений.

Некоторые теоретики пытались спасти вероятностные рассуждения, утверждая, что точно так же, как мы определяем вероятностное распределение исходов, когда мы не знаем исхода, тогда, если мы не знаем вероятностей, нам нужно смотреть на распределение вероятностей. Такое различие упускает истинную разницу между маленьким миром вероятностей и вездесущностью радикальной неопределенности. И оно ведет по коварному пути, давно известному статистикам, опасающимся подразумеваемого бесконечного регресса в этом аргументе. Если могут существовать вероятности над вероятностями, то почему бы не быть вероятностям вероятностей над вероятностями и так далее. Эта попытка поддержать вероятностные рассуждения приводит к бесконечному регрессу, описанному самим Сэвиджем:

Существует определенный соблазн ввести вероятности второго порядка, чтобы человек мог сказать такие вещи, как "вероятность того, что B более вероятно, чем C, больше, чем вероятность того, что F более вероятно, чем G." Но такая программа, кажется, встречает непреодолимые трудности ... как только вводятся вероятности второго порядка, введение бесконечной иерархии кажется неизбежным. Такая иерархия кажется очень трудной для интерпретации, и в лучшем случае она делает теорию менее реалистичной, а не более.

Что поражает в развитии теории ожидаемой полезности, так это то, что ведущие протагонисты рассматривали теорию исключительно с точки зрения того, как она объясняет выбор среди четко определенных лотерей. Богатство неопределенности в реальных решениях - радикальная неопределенность - просто игнорировалось.