3 Прямая теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей. Соответственно одна из обратных теорем выглядит так: если в треугольнике сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей, то треугольник прямоугольный (и прямой угол находится напротив большей стороны).

4 Где мы есть — там плохо.

5 У каждой перчатки — две поверхности. Значит, у двух пар есть четыре поверхности, так что на каждого из троих пациентов и на самого врача найдётся одна поверхность. Чистые поверхности могут соприкасаться между собой, не загрязняясь. Да и грязные могут соприкасаться между собой: им-то — в отличие от пациентов — хуже не будет. Врач сперва надел одни перчатки на другие и обследовал одного пациента. Затем снял внешние перчатки, при этом выворачивая их наизнанку, и во внутренних перчатках обследовал второго. Наконец надел ранее снятые перчатки на те, что уже на нём, чистой стороной наружу и обследовал третьего. Итак, врача касалась одна и та же поверхность перчаток, а каждого из троих пациентов — чистая поверхность. Метод «от противного» тут проявился в возможности соприкосновения грязных поверхностей.

6 Этот день — воскресенье. Проверьте, что будет послезавтра и после-послезавтра, а также позавчера и поза-позавчера.

7 Шпицберген. Дословно — острые горы. Этот северный остров, ныне принадлежащий Норвегии, содержит немалые залежи угля, по международному договору уже немногим менее века разрабатываемые нашими шахтёрами.

8 Сочетание букв «орох» даёт в этой загадке горох, шорох, порох, ворох.

9 Фалес поймал момент, когда тень палки стала по длине равна самой палке. Скорее всего, для этого он взял две равные палки, одну поставил вертикально, а другую положил наземь и ждал, пока тень сравняется с нею. В этот момент он измерил длину тени пирамиды. Очевидно, она равна высоте самой пирамиды. Правда, часть тени скрыта основанием пирамиды — но его-то измерить (и добавить к длине тени половину размера) несложно! Сходное наблюдение можно провести в любое другое время дня, измеряя соотношение между высотой палки и длиной её тени. Но проще поймать момент, когда они равны, и не возиться с расчётами пропорций.

10 Синтезатору предложили создать второй такой же синтезатор. Второму — третий и так далее. Когда накопилось нужное число синтезаторов, каждому приказали сделать одну деталь.

11 Поверхность у него велика по сравнению с массой. Поэтому сопротивление воздуха быстро поглотит всю энергию, приданную Вашим броском. Сходные причины когда-то заставили перейти от камней к стрелам, а потом от круглых пуль и снарядов к продолговатым, стабилизированным вращением или оперением.

12 Он разделил год на 14 месяцев. Ведь число месяцев и продолжительность каждого из них были предметами указов других императоров.

13 Друзья демонстративно «отравились», выпив остатки воды. После чего лодка была вынуждена, горюя и сетуя, выбросить два «трупа» в окружающую воду.

14 Тара для стёкол делается прозрачной. Кстати, в США придумали делать и прозрачный бинт — его не нужно каждый раз снимать, чтобы рассмотреть рану.

15 Обмакните монету в пиво и «приклейте» к внешней поверхности кружки (цилиндрической!). Монета съедет по поверхности кружки до стола и останется так стоять.

16 Электрическую батарейку.

17 Первый бегун преодолевает большее сопротивление воздуха. За его спиной создаётся разрежение. Это облегчает бег и позволяет сэкономить силы второму бегуну.

18 Левша держит карты в правой руке и сдаёт их левой. Так ему удобнее увидеть несимметричную маркировку карт в нижнем и верхнем углах.

19 Высочайшей планетой называли в то время Сатурн: более отдалённые от Солнца планеты ещё не были открыты. Галилей увидел кольца Сатурна, но в таком ракурсе, что не смог их разделить в свой телескоп (и поэтому счёл большими спутниками, сопоставимыми по размеру с самим Сатурном). Это сделали позднее другие астрономы. Гюйгенс открыл спутник Сатурна Титан, где, возможно, спутник НАСА обнаружил удивительные бактерии, «дышащие» водородом.

20 У кошек, как говорят, 9 жизней. 8 = 1 ′ 9–1, 70 = 8 ′ 9–2, 627 = 70 ′ 9–3 и т. д.

21 Когда обвиняемый думает о себе, он может рассуждать так: «Пусть второй обвиняемый признается. Тогда, если я тоже признаюсь, то получу лёгкое наказание, а если не признаюсь, буду сурово наказан. Пусть второй обвиняемый не признается. Тогда меня освободят. В каждом случае лучше признаться». Но так рассуждая, оба обвиняемых признают свою вину. В результате они оба получат наказание, хотя и лёгкое. А могли бы быть освобождены, если бы оба не признали своей вины.

22 Можно сослаться на Я.И. Перельмана. Песчинки, не касаясь во время падения дна сосуда, не оказывают на него давления. Можно думать поэтому, что в течение тех пяти минут, пока длится пересыпание песка, чашка с часами должна быть легче и подняться вверх. Опыт покажет, однако, другое. Чашка с часами качнётся вверх только в первое мгновение, но затем в течение пяти минут весы будут сохранять равновесие до последнего момента, когда чашка с часами качнётся вниз и весы снова придут в равновесие. Почему же весы останутся пять минут в равновесии, несмотря на то, что часть песка, падая, не оказывает на дно сосуда никакого давления? Прежде всего отметим: в течение каждой секунды столько же песчинок покидает шейку часов, столько их достигает дна. Значит, каждую секунду становятся «невесомыми» столько же песчинок, сколько ударяются о дно сосуда. Каждой песчинке, делающейся невесомой, отвечает удар другой песчинки о дно. Только в первый и последний моменты пятиминутного промежутка времени равновесие весов (если они достаточно чувствительны) нарушится. В первый момент потому, что некоторые песчинки уже покинут верхний сосуд часов, сделаются невесомыми, но ни одна не успеет ещё удариться в дно нижнего сосуда: чашка с весами качнётся вверх. К концу пятиминутного промежутка равновесие снова нарушится на мгновение: все песчинки уже покинули верхний сосуд, новых невесомых песчинок нет, а удары о дно нижнего сосуда ещё происходят — чашка с часами качнётся вниз. Затем снова наступит равновесие, на этот раз окончательно. Что же касается сосуда с мухами, то вес сосуда в обоих случаях будет одинаков — при полёте крылья мух оказывают на воздух давление, равное их весу.

23 Простой ответ (не вдаваясь в тонкости) гласит: обе обезьяны достигнут блока одновременно, поскольку натяжения каната (а, значит, и ускорения, и скорости обезьян) одинаковы с обеих сторон. В последнем случае раньше доберётся до блока более лёгкая обезьяна, потому что её ускорение будет направлено вверх, тогда как более тяжёлой обезьяны — вниз. Приведу ещё цитату из хорошей книги Я.А. Смородинского: «Как и многие другие творения Кэрролла, его «обезьянья» задача породила многочисленные дискуссии и споры. Ей посвящена обширная литература. Потешаясь над своими учёными коллегами — профессорами физики Клифтоном и Прайсом, профессором химии Верной Харкортом и лектором колледжа Христовой церкви Оксфордского университета Сэмпсоном, Кэрролл сделал в своем дневнике следующую запись: «21 декабря, четверг (1893 г.). Получил ответ профессора Клифтона к задаче «Обезьяна и груз». Весьма любопытно, сколь различных мнений придерживаются хорошие математики. Прайс утверждает, что груз будет подниматься с возрастающей скоростью, Клифтон (и Харкорт) считают, что груз будет подниматься с такой же скоростью, как обезьяна, а Сэмпсон полагает, что груз будет опускаться». Нашлись и такие, кто считал, что груз останется на месте. Споры по поводу того, какое решение «обезьяньей» задачи Кэрролла следует считать единственно правильным, время от времени возникают и поныне. (В действительности условия задачи недоопределены и ответ зависит от дополнительных предположений, вводимых при решении задачи.)»