Легко заметить: 1,4 слишком мало для квадратного корня из двух, а 1,5 – слишком велико. Следовательно, √2 лежит между этими двумя величинами.

Продолжим в том же духе. Будем возводить в квадрат числа между 1,4 и 1,5, двигаясь с шагом 0,01. Мы обнаружим, что 1,41² = 1,9881, а 1,42² = 2,0164. Из этого можно сделать умозаключение, что

Мы можем двигаться таким образом все дальше и дальше, приближаясь к √2

Рано или поздно мы либо успокоимся (достигнув числа, фантастически близкого к либо почувствуем отчаяние (увидев, что никогда не сможем точно вычислить √2

Но что означает это «точно»?

За границами рационального

Разумный способ определить точное значение числа – представить его в виде рационального числа, то есть отношения двух целых чисел. Если бы мы сумели представить √2 в виде дроби где a и b – целые числа, мы бы нашли его точное значение.

Увы, но такое невозможно. Однако это нужно доказать.

Будем идти от противного, как и в главе 1, где мы подсчитывали количество простых чисел. Предположим, что √2 – рациональное число. Если это допущение приведет к абсурдным выводам, значит, оно несостоятельно.

Итак, приступим. Если √2 – рациональное число, его можно выразить в виде отношения двух целых чисел:

Возведем обе части тождества в квадрат:

Раскроем скобки:

Таким образом:

или:

Если a – целое число, мы можем разложить его на простые множители, причем (согласно основной теореме арифметики) одним-единственным способом:

Проделаем аналогичную процедуру с b:

Следовательно, левую часть равенства (С) можно представить в таком виде:

Несложно заметить, что 2b² раскладывается на нечетное число простых множителей.

Аналогично поступаем с правой частью (С):

В отличие от 2b², выражение a² раскладывается на четное число простых множителей.

Подытожим. В соответствии с нашим предположением 2b² = a². Это означает, что некоторое число одновременно можно разложить на четное и нечетное количество простых множителей. Но это противоречит основной теореме арифметики.

Мы пришли к невозможному выводу. Таким образом, наша изначальная посылка была ошибочна. Следовательно, √2 не является рациональным числом.

Такие числа, как √2 называют иррациональными. Рациональные числа хороши для операций с физическими величинами[43], но их недостаточно для всех математических величин. Длина диагонали квадрата 1 × 1 – иррациональное число.

Конструктивные числа

Начав с числа 1 и шаг за шагом проделывая операции сложения, вычитания и умножения, мы можем получить любое целое число, но и только. Если мы добавим операцию деления, нам откроются все рациональные числа, но ими же мы и будем ограничены.

Если мы введем операцию извлечения квадратного корня[44], то получим числа, которые не являются отношением целых чисел. Например:

Для удобства мы будем называть конструктивными такие числа, которые можно получить с помощью числа 1 и пяти операций – сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня – с привычными оговорками: нельзя делить на ноль и извлекать корень из отрицательных величин.

Разумеется, возникает вопрос: все ли числа конструктивные?

Древние греки усматривали магическую внутреннюю связь между арифметикой и геометрией. Эта связь подтверждалась операциями с использованием двух инструментов: линейки без делений и циркуля. Возьмем отрезок единичной длины; какова может быть длина отрезков, построенных на его основе с помощью карандаша, линейки без делений и циркуля?