поделим обе части на 10ⁿ:

Что мы выяснили? С одной стороны, все элементы интересующего нас возрастающего ряда меньше 1. С другой стороны, какое бы число x меньше единицы мы ни взяли, рано или поздно возникнет элемент ряда, превышающий x (а последующие будут нарастать и все больше удаляться от x).

Наш ряд неуклонно приближается к 1. Математики говорят, что этот ряд стремится к 1. Или, что то же самое, 1 представляет собой предел ряда.

Значение десятичной дроби с конечным числом символов – это сумма определенного количества десятых, сотых, тысячных и т. д. Например:

К сожалению, язык десятичных дробей с конечным числом символов слишком скуден, чтобы выразить, например, 2/7. Поэтому нам необходимо расширить лексикон.

Значение десятичной дроби с бесконечным числом символов равно пределу ряда, где на каждой ступени элемент прирастает на одну цифру. Это сложно, однако дает нам возможность выражать все числа, используя десятичную систему счисления.

Уходим в беспредел!

Нужно приложить определенные усилия, чтобы увидеть в бесконечной десятичной дроби предел ряда. Попробуем посмотреть проще.

Вернемся к знакомому нам 0,999999… Пусть:

Умножим обе части равенства на 10:

Вычтем (A) из (B):

Теперь поделим обе части на 9 и убедимся, что X = 1. Готово! Все оказалось просто.

Этот фокус можно повторить для любой периодической десятичной дроби. Например:

Умножим обе части на 100 (чтобы цифры встали в строй):

и вычтем (C) из (D):

Таким образом, Y = 27/99 = 3/11.

Вот видите[40]! Зачем утруждать себя «сходимостями» и «пределами»? Но с бесконечными последовательностями нужно быть осторожнее. Представим себе сумму:

Умножим обе части равенства на 2:

и привычно вычтем (E) из (F):

Стало быть, Z = –1? Что за абсурд?

Где мы допустили оплошность? Мы ушли в беспредел. Алгоритм, позволяющий установить значение 0,9999999… и 0,2727272727…, дал сбой, когда мы взялись за ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16… Во всех трех случаях речь шла о бесконечной последовательности. В чем разница? Ответ: в сходимости. Не понимая толком, что такое сходимость ряда, мы запросто придем к выводу, что сумма положительных чисел может быть отрицательным числом. Операции с выражениями (A) и (B), а также (C) и (D) математически корректны, потому что мы имеем дело со сходящимися последовательностями.

Перед началом концерта музыканты настраивают инструменты по одной ноте, чтобы добиться гармоничного звучания. Однако это невозможно. Скоро мы увидим почему.

Рациональные числа

Целые числа прекрасно ладят с тремя простейшими арифметическими действиями – со сложением, вычитанием и умножением. Мы производим эти операции над двумя целыми числами и получаем целое же число. А вот деление одного целого числа на другое[41] может привести к дробному результату.

Числа, представляющие собой результат деления целого числа на целое, называют рациональными[42]. Например, 1,5 – это рациональное число, потому что равно 3/2.

Целое число 3 рациональное, потому что 3 = 3/1 (а еще 6/2, 12/4 и т. д.). Все целые числа – рациональные.

Целые числа ладят с тремя арифметическими действиями, а рациональные числа – со всеми четырьмя. Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел всегда будут рациональным числом (с привычной оговоркой о неправомерности деления на ноль).

Рациональные числа пригодны для описания повседневной жизни. Величины, которые мы измеряем, – вес, интенсивность звука, расстояние, цена, температура, время, численность населения, радиочастоты – выражаются рациональными числами.

Но если рациональные числа удобны для работы и над ними можно осуществлять арифметические операции, зачем нам другие числа?

Можно задаться более фундаментальным вопросом: существуют ли другие числа?

Диагональ квадрата

Каково расстояние между противоположными вершинами квадрата? Позже, в главе 14, мы обсудим решение этой задачи. Сейчас же достаточно знать, что длина диагонали квадрата 1 × 1 равна √2

Если умножить число √2 само на себя (другими словами, возвести в квадрат), мы получим 2. Посчитайте приблизительное значение √2 на калькуляторе. А теперь давайте посмотрим, можно ли приблизиться к этому числу с помощью ручки и бумаги.

Начнем с того, что, если возвести в квадрат 0, получится 0, а если возвести в квадрат 1, получится 1. Наша цель 2, а найденные числа меньше. С другой стороны, если возвести в квадрат 2, мы получим 4, а если возвести в квадрат 3, получим 9. Это больше, чем нам нужно.

1² – слишком ма́ло, 2² – слишком много. Попробуем найти величину между 1 и 2, перемещаясь с шагом 0,1, как показано в таблице.