Вопрос кардинально меняется, когда мы ищем такое число, что x² = –1. А существует ли оно в принципе? Если возвести в квадрат положительное число, ответом будет положительное число, скажем 5² = 5 × 5 = 25 > 0. Если возвести в квадрат отрицательное число, результат снова будет положительным числом: (–5)² = (–5) × (–5) = 25 > 0. Если возвести в квадрат ноль, получится ноль. Наше положение выглядит безнадежно.

Мы испытаем еще большее отчаянье, когда нарисуем график уравнения y = x² + 1 и увидим, что парабола нигде не пересекает ось абсцисс.

Есть искушение сдаться и объявить: «Нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел». На самом деле нам просто не хватает воображения. Да, не существует ни одного действительного числа, удовлетворяющего условию x² = –1, но, возможно, есть какие-то другие?

Мнимые числа

Решение на редкость просто. Раз нет такого действительного числа, что x² = –1, то мы просто создадим новое число, назовем его i и поставим условие i² = –1.

Конечно, в голове сразу зазвучит сигнал тревоги: «Откуда взялось это число? Выдумывать числа нельзя! Что за чепуха!»

Чтобы облегчить душу, назовем новое число мнимым[56]. В наших глазах такое число – второго сорта: мы не кладем i кубиков сахара в чашку кофе и не боимся, что расстояние до университета окажется равным i миль[57].

Мы просто решили поиграть и сами придумали правила. Хорошо, теперь давайте поразмышляем. Посмотрим, на что годно это число i. Мы знаем, что i × i = –1. А как насчет i + i? Если следовать привычным арифметическим правилам, то получится другое мнимое число: 2i. А что, если возвести это число в квадрат? Попробуем!

Другими словами, число 2i представляет собой квадратный корень из числа –4.

Теперь возведем в квадрат и посмотрим, что получится:

Таким образом, представляет собой квадратный корень из числа –2. Когда мы приютили мнимое число i в семье всех чисел, мы заполучили не просто а в придачу еще и квадратные корни из всех отрицательных действительных чисел! Любое число вида b × i, где b – это действительное число, называют мнимым числом.

Если сложить два мнимых числа, например 2i и 4i, мы получим другое мнимое число: 6i. Если мы перемножим два мнимых числа, например 3i и –2i, то получим действительное число:

Комплексные числа

Чтобы мнимые числа прижились в семье всех чисел, нужно научиться складывать, вычитать, умножать и делить мнимые и действительные числа вместе. Мы будем работать с множеством комплексных чисел. Это расширение множества действительных чисел, включающее все числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, например 3 + 4i.

Само число i комплексное, потому что может быть представлено в виде 0 + 1i. Точно так же действительные числа могут быть представлены в виде –7 + 0i.

Складывать комплексные числа несложно, мы просто приводим подобные слагаемые:

Более педантично мы можем записать это так: 7 + (–1) i.

Вычитание ничуть не сложнее:

Очевидно, что сумма или разность двух комплексных чисел – тоже комплексное число. На языке алгебры мы можем продублировать эту фразу так (числа a, b, c, d здесь – действительные):

Умножение комплексных чисел дается несколько труднее. Попробуем перемножить наших друзей 3 + 2i и 4 – 3i:

На алгебраическом языке произведение двух комплексных чисел выражает формула:

Очевидно, что при перемножении двух комплексных чисел мы получаем комплексное число.

Из всех арифметических операций деление комплексных чисел сложнее всего. Оно приводит нас к выражению (a + bi) / (c + di), поэтому сначала нам придется поговорить о взаимно обратных числах. Число x называют взаимно обратным числу y, если xy = 1. Например, дробь 1/2 взаимно обратна числу 2.