Одна из первых таких теорем была доказана в 1951 году экономистом Кеннетом Эрроу и стала частью исследования, удостоенного в 1972 году Нобелевской премии по экономике. Может показаться, что теорема Эрроу отрицает само существование социального выбора и бьёт по принципу представительного правления, пропорциональному распределению, самой демократии и не только.

Вот что сделал Эрроу. Сначала он сформулировал пять элементарных аксиом, которым любое правило, определяющее «волю народа» — предпочтения группы, должно удовлетворять, и эти аксиомы на первый взгляд кажутся настолько резонными, что их можно было бы и не формулировать. Одна из них заключается в том, что правило должно определять предпочтения группы только через предпочтения членов этой группы. Другая — в том, что правило не должно просто обозначать взгляды одного конкретного человека как «предпочтения группы», независимо от того, чего хотят другие. Это так называемая аксиома об отсутствии диктатора. Третья аксиома гласит, что если члены группы единогласно сходятся в чём-то — в том смысле, что у них у всех по этому поводу одинаковые предпочтения, то правило должно приписать те же предпочтения и группе. Эти три аксиомы отражают в данном случае принцип представительного правления.

Четвёртая аксиома Эрроу звучит следующим образом. Пусть при заданном определении «предпочтений группы» правило утверждает, что группа имеет конкретное предпочтение, скажем, в пользу пиццы, а не гамбургера. Тогда это правило должно также сохранять данное групповое предпочтение, если кто-то из участников, кто до этого расходился с группой во мнении (то есть предпочитал гамбургер), теперь изменил своё мнение и выбирает пиццу. Это ограничение аналогично исключению парадокса населения. Группа вела бы себя неразумно, если бы меняла своё «мнение» в направлении, противоположном изменению взглядов своих членов.

Последняя аксиома заключается в том, что если у группы есть некое предпочтение, а затем некоторые её члены изменяют своё мнение о чём-то ещё, то правило должно и дальше приписывать группе исходное предпочтение. Например, если некоторые члены группы передумали насчёт сравнительной ценности клубники и малины, но относительно сравнительных ценностей пиццы и гамбургера их предпочтения не изменились, то и групповое предпочтение выбора между пиццей и гамбургером тоже не должно измениться. И снова это ограничение может рассматриваться как вопрос разумности: если никто из членов группы не меняет своего мнения по поводу конкретного сравнения, то и группа не должна.

Эрроу доказал, что только что перечисленные мною аксиомы, несмотря на свою кажущуюся разумность, логически несовместимы. Нет такого способа понимания «воли народа», который удовлетворил бы всем пяти. Это означает, что предположения, стоящие за теорией социального выбора, получают удар на ещё более глубоком уровне, чем от теоремы Балинского — Янга. Во-первых, аксиомы Эрроу не об очевидно ограниченном вопросе пропорционального распределения, а о любой ситуации, в которой нужно рассматривать группу с предпочтениями. Во-вторых, все эти пять аксиом интуитивно не просто желательны для того, чтобы система была справедливой, а существенны для её рациональности. И всё же они несовместимы друг с другом.

Из этого как будто бы следует, что группа людей, совместно принимающих решения, обязательно будет вести себя нерационально в том или ином отношении. Это может оказаться диктатура или подчинение какому-то произвольному правилу; или, если удовлетворены все три условия представительности, она может изменять свой «выбор» в направлении, противоположном тому, в котором оказались действенными критика и убеждение. Таким образом, группа будет делать странный выбор независимо от того, насколько мудры и великодушны люди, которые интерпретируют и проводят в жизнь её предпочтения, если только, возможно, один из них не окажется диктатором (см. ниже). Получается, что такого понятия, как «воля народа», просто нет. Не существует способа рассматривать «общество» как субъекта, принимающего решения и имеющего самосогласованные предпочтения. Вряд ли это тот вывод, который мир ожидал от теории социального выбора!

Как и в случае с проблемой пропорционального распределения, попытки исправить следствия теоремы Эрроу предпринимались и с помощью идей типа «почему бы просто не…?» Например, почему бы не учитывать, насколько сильны предпочтения людей? Ведь если немногим больше половины электората с трудом делает выбор в пользу X и против Y, а остальные считают, что выбрать и провести в жизнь Y — это вопрос жизни и смерти, то интуитивно наиболее очевидным планом представительного правления будет обозначить «волей народа» решение Y. Однако всем, к сожалению, известно, что силу предпочтений и особенно разницу в этой силе у разных людей или у одного и того же человека в разные моменты времени сложно определить и тем более измерить, как, например, счастье. И в любом случае добавление таких понятий ничего не изменит: теоремы о невозможности никуда не денутся.

Как и в случае с проблемой пропорционального распределения, похоже, что как только систему принятия решений «подлатают» в одном месте, так она станет парадоксальной в другом. Дальнейшая серьёзная проблема, которую выявили во многих институтах, принимающих решения, состоит в том, что в них создаются стимулы, чтобы участники лгали о своих предпочтениях. Например, если из двух мнений вы слегка склоняетесь к одному, то у вас появляется стимул назвать своё предпочтение «сильным». Возможно, вы не сделаете этого из чувства гражданской ответственности. Но у системы принятия решений, ограничиваемой гражданской ответственностью, есть недостаток, заключающийся в том, что она придаёт непропорциональный большой вес мнениям людей, у которых нет чувства гражданской ответственности и которые склонны лгать. С другой стороны, в обществе, в котором все достаточно хорошо знают друг друга, чтобы сделать такую ложь невозможной, не будет эффективным тайное голосование, и тогда система присвоит непропорциональный вес фракции, наиболее способной запугать нерешительных людей.

Разработка избирательной системы — одна из неизменно спорных проблем социального выбора. Такая система с математической точки зрения аналогична схеме пропорционального распределения, только распределяются не места между штатами, исходя из численности населения, а места между кандидатами (или партиями), исходя из числа голосов. Однако эта проблема ещё парадоксальнее пропорционального распределения и приводит к более серьёзным последствиям, потому что в случае с выборами элемент убеждения играет во всём процессе центральную роль: считается, что выборы должны показать, в чём голосующих удалось убедить. (При распределении мест не предполагается, что штаты пытаются убедить людей переехать из одного в другой.) Как следствие, в рассматриваемом обществе избирательная система может способствовать традициям критики или подавлять их.

Например, избирательная система, в которой места распределяются целиком или частично пропорционально числу голосов, полученных каждой партией, называется системой «пропорционального представительства». Согласно Балинскому и Янгу, если избирательная система слишком пропорциональна, она будет подвержена аналогу парадокса населения и другим парадоксам. Действительно, политолог Петер Куррилль-Клитгор в своём исследовании последних восьми всеобщих выборов в Дании (проводимых по системе пропорционального представительства) показал, что каждый раз в них обнаруживались парадоксы. Среди прочих был и такой, при котором те, кого предпочитают больше, получают меньше мест, то есть большинство голосовавших предпочло партию X, а не партию Y, но партия Y получила больше мест, чем партия X.