его помощью убеждать других. Ряд правил для вычисления площадей треугольников и четырёхугольников не получил в наши дни однозначного толкования; идут споры, как надо понимать входящие в них термины [4, глава IV, § 2, а]. В зависимости от толкования эти формулы должны восприниматься либо как точные, либо как приближённые, либо как вообще неверные. Говоря о неверной формуле, мы имеем в виду выражение площади треугольника через полупроизведение основания на боковую сторону[166]. Многие исследователи считают, впрочем, что соответствующий древнеегипетский термин надо трактовать не как боковую сторону, а как высоту (и тогда формула из папируса оказывается верной). Однако, даже если бы этот термин означал в действительности не высоту, а боковую сторону, соответствующую (неверную, с нашей современной точки зрения) формулу следует считать доказанной в древнеегипетском понимании, ведь эта формула убедительно обоснована тем, что она (конечно, записанная не с помощью математических символов, а посредством слов) содержится в авторитетном документе.

Иначе обстояло дело в Древней Греции. Сравнительно (с Египтом) небольшие государственные образования с народными собраниями. В народных собраниях выступают ораторы, не являющиеся носителями априорного авторитета. Они должны убедить слушателей посредством рассуждения. Формулирование правильных рассуждений становится повседневной и актуальной потребностью. Отсюда – зарождение логики у Сократа и окончательное оформление её в виде науки у Аристотеля. Отсюда же – приближающиеся к современным представления о доказательстве, начало дедуктивного метода в математике. Основой математической убедительности становится рассуждение. Возникает понятие об основах правильных рассуждений – аксиомах и правилах логического вывода. Убедительно (и следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из отправных утверждений, признаваемых справедливыми. (Если задуматься над тем, какие дисциплины опираются на понятие доказательства, то окажется, что таких дисциплин две: математика и юриспруденция. По-видимому, местом их рождения следует признать Древнюю Грецию: именно там возникла культура убеждения путём рассуждения, в частности – путём прения сторон. В этом смысле математику можно назвать младшей сестрой юриспруденции.)

Наконец, Индия. Хотя те геометрические иллюстрации, на которые мы собираемся ссылаться, относятся к средневековой Индии, скорее всего, они появились уже в Индии древней. Вообще, датировка индийских математических представлений вызывает значительные трудности, поскольку одни тексты могут представлять собой изложение других, более ранних. С другой стороны, это и не так существенно: в то время как средневековый Египет и средневековая Греция не имели ничего общего с Древним Египтом и Древней Грецией, средневековая Индия оставалась хранителем духовного наследия Древней Индии. Существенной чертой этого наследия являлось и является придание статуса высшей достоверности внутреннему озарению. Непосредственное внутреннее озарение представляет собой основной источник знания и обладает неоспоримой убедительностью. То, что познано таким образом, считается доказанным. Чтобы убедить в этом другого, надо привести его в такое состояние, чтобы и он мог испытать внутреннее озарение. Поэтому геометрические доказательства выглядели так: чертёж, а под ним подпись «Смотри!».

Примеры таких чертежей с подписями «Смотри!», относящиеся к XII и XVI вв., приведены, например, в монографии [9, с. 76, 154]. Чертёж XIV в. (он воспроизведён также в статье [15, с. 75]), на наш взгляд, достоин того, чтобы излагаться в сегодняшней средней школе: он нагляднее современных доказательств показывает, что площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого суть полуокружность и полудиаметр круга. Поэтому мы приводим этот чертёж здесь (рис. 5).

Автор отдаёт себе отчёт в том, что его мнение по поводу индийских доказательств расходится с мнением такого авторитета в области истории математики, как А. П. Юшкевич, который пишет [9, с. 155]: «Лаконичность выводов в индийских сочинениях по математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припиской "Смотри!" не следует рассматривать как проявление особого подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления». На наш взгляд, как раз следует. Почему же в противном случае такого рода «Смотри!» мы не встречаем нигде, кроме Индии?

На рис. 6 приведён ещё один чертёж с подписью «Смотри!». Он относится к XII в. и представляет собой доказательство теоремы Пифагора, опирающееся на формулу квадрата разности двух чисел.

Ценные соображения об эволюции понятия математического доказательства высказывает С. С. Демидов, который, в частности, указывает, «что доказательность математических рассуждений также в конечном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня» [15].

Определение доказательств как убеждающего текста делает понятие доказательства довольно-таки субъективным (для кого текст убеждающий, а для кого нет). Нам это не представляется недостатком определения. Такова суть вещей. Употреблённое выше слово «делает», пожалуй, неудачно. Наше определение не столько делает понятие доказательства субъективным, сколько отражает субъективный характер этого понятия. Тем интереснее уяснить задачу, от решения которой мы весьма далеки: почему же всё-таки понятие доказательства носит характер общекультурный в том смысле, что в пределах одной и той же культуры споры о том, доказано или нет то или иное утверждение, хотя и возникают, но сравнительно редко?

Говоря о таких спорах, мы не имеем в виду несогласия между представителями разных логических направлений в математике: например, между представителями обычной (классической) и интуиционистской (конструктивистской) математики. Последние не признают доказанными (а, напротив, считают неверными) многие утверждения обычной математики. Можно считать, что интуиционисты (конструктивисты) принадлежат к другой математической культуре и даже самые привычные слова (такие, скажем, как «существует») наполняют другим смыслом [разумеется, интуиционисты (конструктивисты) считают, что это представители традиционной математики наполняют слова другим смыслом, а они, интуиционисты, как раз и употребляют эти слова в единственно правильном смысле]. Поэтому интуиционисты считают неверными многие доказательства традиционной математики.

Мы говорим здесь о другом – не об изменении семантики терминов, ведущем к изменению оценки истинности утверждений, а о том, что доказательство может оказаться непонятным и потому неубедительным (а раз неубедительным, значит, вообще не доказательством). Современная математика имеет сложное строение, постепенно становящееся необозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что проверка их требует чрезвычайно большого желания, терпения и времени. О владении специальными знаниями нечего и говорить: не только придумывание, но и проверка доказательств ряда теорем доступна лишь узкому кругу посвящённых. Именно так обстоит дело, например, с предложенным Уайлсом доказательством Великой теоремы Ферма.

Иногда интересуются объёмом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, полученные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством, т. е. убеждающим текстом, для того, кто не знаком с доказательствами этих установленных ранее теорем? Мы не берёмся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим ещё, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (хронологическая последовательность