Остаётся выяснить, что же такое доказательство – не формальное доказательство, а просто доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике всё доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"» – так начинает свои «Начала математики» Николя Бурбаки [6, с. 231]. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель – формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего – психологии.

Итак, термин «доказательство» – один из самых главных в математике – не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство – это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [12, с. 8]. Пожалуй, всё-таки следует уточнить, что под словом «нас» в этом определении понимаются те, кто слушает или читает доказательство, а не те, кто его воспроизводит, т. е. произносит или пишет.

Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, готовыми убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не готовы, значит, мы ещё не восприняли предъявленного нам рассуждения как доказательства, а если и признали его доказательством, то просто чтобы отмахнуться.

Заметим, что понятия, присутствующие в нашем определении доказательства, – либо логико-лингвистические («рассуждение»), либо психологические («убеждающее», «способны убеждать»). Это полностью отвечает сути дела: само представление о доказательстве неразрывно связано с языковыми средствами и с социальной психологией человека. И то и другое изменяется с ходом истории. Меняется языковое оформление доказательств. Меняется и представление об убедительности.

Представление об убедительности зависит не только от эпохи, но и от социальной среды. К сожалению, я не могу сейчас вспомнить, где читал пассаж на следующую тему. Кардиналы, современники Галилея, были неглупые люди, некоторые из них могли воочию наблюдать горы на Луне в Галилеев телескоп, а также с пониманием следить за логикой рассуждений Галилея. Однако для них их собственные взгляды, основанные на априорной догме, были убедительнее любого эксперимента и любой логики. (Интересный анализ того, как априорно суженное представление о способах доказывания препятствует признанию некоторых фактов, приведён в статье С. П. Божича [13].)

Представление об убедительности того или иного рассуждения зависит от многих факторов. Выявление этих факторов – важная задача логики и психологии. В число таких факторов входит, например, разделение понятий (а точнее, терминов) на осмысленные и бессмысленные. Понятия флогистона и теплорода, считавшиеся осмысленными в XVIII в., признаются сейчас бессмысленными. Эйнштейн открыл, что бессмысленным является и понятие одновременности двух событий – если считать его объективным, не зависящим от наблюдателя (более точно, Эйнштейн открыл, что одновременность не двуместное отношение между двумя событиями, а трёхместное отношение, членами которого являются 1-е событие, 2-е событие и наблюдатель). С другой стороны, такое «очевидно бессмысленное понятие», как бесконечно малое число, вот уже полвека наполняется точным смыслом в рамках так называемого нестандартного анализа. С изменением представлений об осмысленности или бессмысленности понятий меняется и представление о самой сущности научной истины. Меняется представление об очевидности. Как в своё время все знали, что гроза вызывается высшими силами, так теперь все знают, что причина грозы – атмосферное электричество. Неспособность инертных газов образовывать химические соединения была настолько очевидной, что это свойство закрепили в самом названии «инертные». Когда же в 1962 г. были получены первые соединения, которые эти газы образуют с другими веществами, химики, по-видимому, не испытали никакого стыда, а лишь с удовольствием констатировали, что «для объяснения строения этих соединений не потребовалось принципиально новых представлений о природе химической связи» (Большая Советская Энциклопедия, 3-е изд., статья «Инертные газы»).

То, что человеческое знание меняется с ходом истории, разумеется, общее место. Здесь хотелось бы подчеркнуть, что в состав знания входят не только сами факты, но и исходные предпосылки, презумпции, на основании которых тот или иной факт делается членом системы знаний: представления об осмысленности и бессмысленности, об очевидности и неочевидности, о возможном и невозможном, о частном и общем, об убедительности и неубедительности, о доказанном и недоказанном, о достоверном и недостоверном. Все эти представления, хотя, возможно, и меняются медленнее простых представлений о фактах, в сущности, так же исторически относительны, как и последние.

Математика иногда воспринимается как скала, неподвижно возвышающаяся над волнами переменчивых представлений, относящихся к другим наукам. Конечно, основания для такого взгляда на математику имеются. Тем не менее взгляд на математику как на нечто абсолютное, видимо, являет собой преувеличение. Если математика и абсолютна, то только на уровне повседневного опыта – точно так же, как абсолютна ньютоновская физика в применении к явлениям «средних масштабов» (а в очень малом и в очень большом действует уже иная, эйнштейновская физика)[164].

В частности, социально-историческая обусловленность представлений о «доказательствах вообще» распространяется и на математические доказательства.

Для иллюстрации сказанного автор сейчас попытается изложить вкратце свои представления о понятии доказательства в Древнем Египте, в Древней Греции и в Индии.

У нас не так много достоверных сведений о том, как излагались и воспринимались математические доказательства в древности. Многие из дошедших до нас текстов весьма отрывочны; к тому же встречающиеся в них термины зачастую допускают различную интерпретацию[165]. Многое приходится домысливать. Каждый домысливает в желательную для себя сторону, и автор этих строк, надо думать, не исключение. С учётом этих оговорок можно составить следующую схему.

Представление о доказательстве есть продукт социальной истории общества. Мы отдаём себе отчёт в упрощённости наших исторических подходов, приписывая Древнему Египту централизованную государственность, хотя и там были периоды раздробленности, а Древней Греции – демократию, хотя и там случались тиранические правления. Но любая схема предполагает упрощения.

Итак, Древний Египет. Теократическое государство с необычайно сильной центральной властью. В качестве действенного инструмента поддержания централизации, повиновения, порядка выступает постоянное строительство пирамид, требующее колоссальных людских и материальных ресурсов и объединяющее усилия всей страны. Авторитет фараона и жрецов непререкаем. Непререкаем и авторитет написанного слова. Если что-то сказал или написал жрец, писец, учитель, значит, это есть истина. Если что-то написано на папирусе, это есть истина. Убедительность основывается на авторитетности источника.

Математические тексты Древнего Египта содержат готовые правила без какого бы то ни было их обоснования. Говоря об отсутствии обоснования, мы имеем здесь в виду современное понимание слова «обоснование». С точки зрения древнего египтянина, написанное на папирусе было полностью обосновано тем, что исходило из авторитетного источника и было запечатлено в авторитетной форме записи на папирусе. Факт занесения на папирус, запечатления на нём и был сам по себе доказательством. Действительно, этого было достаточно для того, чтобы с