11 августа того же 1859 года, незадолго до своего 33-летия, Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Основанием для принятия его в ряды академии послужили те две единственные работы Римана, которые пользовались известностью, — диссертация 1851 года и работа 1857 года по абелевым функциям. Избрание в члены Берлинской академии наук было огромной честью для молодого математика. По традиции, новоизбранный член представлял в академию оригинальную работу по теме своих исследований. Работа, которую представил Риман, называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse).

Математика после этого уже никогда не была прежней.

I.

Итак, сколько же имеется простых чисел, не превышающих некоторую заданную величину? Очень скоро мы это узнаем, но сначала — пятиминутное повторение на тему простых чисел.

Возьмем положительное целое число — для примера, 28. Какие числа делят его нацело? Ответ таков: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Эти числа называются делителями числа 28. Будем говорить, что «28 имеет шесть делителей».

Разумеется, каждое число делится на 1; и каждое делится само на себя. Так что единица и само число — не слишком интересные делители. Если использовать слово, которое математики очень любят, — это «тривиальные» делители. Интересные же делители в нашем случае — это 2, 4, 7 и 14. О них говорят как о собственных делителях.

Получаем, что у числа 28 четыре собственных делителя. Но у числа 29 собственных делителей нет вовсе. Ничто не делит число 29 нацело, кроме, конечно, 1 и 29. Это — простое число. Простое число — это такое, у которого нет собственных делителей.

Приведем все простые числа, не превосходящие 1000.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37 41 43 47 53

59 61 67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113 127 131

137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251 257 263

269 271 277 281 283 293 307 311

313 317 331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457

461 463 467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557 563 569

571 577 587 593 599 601 607 613

617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719

727 733 739 743 751 757 761 769

773 787 797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863 877 881

883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

Как видно, их 168. В этот момент обычно раздаются возражения, что в список простых чисел не включена единица. Разве единица не удовлетворяет определению? Ну, строго говоря, да — удовлетворяет, и закоренелые педанты могут для своего собственного удовлетворения вписать «1» в начало списка. Однако включение 1 в список простых чисел — серьезная помеха, и современные математики по взаимному согласию этого просто не делают. (Последним из крупных математиков, кто такое делал, был Анри Лебег в 1899 году.) На самом деле даже включение двойки — тоже помеха; однако присутствие 2 в конце концов себя окупает, а присутствие 1 — нет, так что мы ее выбрасываем, и все.

Если посмотреть на список простых чисел повнимательнее, то станет заметно, что они скудеют по мере продвижения вперед по списку. Между 1 и 100 имеется 25 простых; между 401 и 500 их 17; а между 901 и 100 — всего 14. Как видно, число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если бы мы продлили список, включив в него все простые числа до миллиона, то обнаружилось бы, что в последнем блоке из сотни чисел (т.е. среди чисел от 999 901 до 1000 000) всего лишь восемь простых. А если продлить до триллиона, то в последнем блоке из сотни чисел нашлись бы только четыре простых (конкретно, они таковы: 999 999 999 937, 999 999 999 959, 999 999 999 961 и 999 999 999 989).

II.

Возникает естественный вопрос: истощатся ли рано или поздно простые числа до конца? Если продолжить список до триллионов триллионов или до триллионов триллионов триллионов триллионов, то дойдем ли мы в конце концов до точки, за которой простых чисел больше нет, так что последнее простое, встреченное нами по пути, окажется наибольшим простым числом?

Ответ на это около 300 года до P.X. дал Эвклид. Нет, простые числа не истончаются до конца. Всегда найдутся еще. Нет наибольшего простого числа. Сколь большое простое число вы бы ни взяли, всегда найдется еще большее. Простые числа продолжаются без конца. Доказательство: пусть число N — простое. Образуем такое число: (1×2×3×…×N) + 1. Оно не делится нацело ни на одно из чисел от 1 до N — в остатке всегда будет единица. Значит, или оно не имеет собственных делителей (и, следовательно, является простым числом, превосходящим N), или же наименьший из его простых делителей — некоторое число, превосходящее само N. Этим результат и доказан, поскольку наименьший собственный делитель любого числа с необходимостью является простым, ведь иначе в нем в свою очередь нашелся бы меньший делитель. Скажем, если N есть 5, то 1×2×3×4×5 + 1 есть 121, и наименьший простой делитель этого числа равен 11. С какого бы простого числа вы ни начали, вы получите большее простое. (Другое доказательство бесконечности числа простых чисел я дам в главе 7.iv, после того как покажу вам Золотой Ключ.)

При том что этот вопрос удалось урегулировать на столь раннем этапе истории математики, следующей по очереди вещью, естественным образом занимавшей головы математиков, была такая проблема: можно ли найти правило, закон для описания того, как именно истончаются простые числа? В пределах сотни имеется 25 простых чисел. Если бы простые числа были распределены строго равномерно, то, разумеется, в пределах тысячи их было бы в 10 раз больше, т.е. 250. Но из-за истончения там в действительности только 168 простых. Почему 168? Почему, скажем, не 158, или 178, или еще сколько-нибудь? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

Вот мы и пришли к тому вопросу, с которого, как и Бернхард Риман, мы начали: сколько имеется простых чисел, меньших заданного числа?

III.

А что мы можем выяснить, действуя «от готового»? Я на самом деле знаю ответы на последний вопрос для довольно внушительных чисел. Некоторые из них показаны в таблице 3.1.