Знаю, знаю — может возникнуть путаница. Ведь π — это отношение длины окружности к ее диаметру, то самое невыразимое

Но новое использование символа π не имеет к этому числу ровно никакого отношения. В греческом алфавите всего 24 буквы, и к тому времени, как математики собрались дать имя этой функции (лично ответственный за это — Эдмунд Ландау, который ввел такое обозначение в 1909 году, — см. главу 14.iv), все 24 буквы уже были порядком израсходованы, и пришлось пустить их по кругу. Мне жаль, что так получилось, но это не моя вина. Данное обозначение в настоящий момент является абсолютно стандартным, так что его придется терпеть.

(Если вы хоть раз занимались мало-мальски серьезным программированием на компьютере, то вам знакома концепция перегрузки символа. Использование буквы π для двух совершенно различных целей есть некоторое подобие перегрузки этого символа.)

Итак, функция π(N) определена как число простых чисел до N (включая само N, хотя это довольно редко имеет значение, и я не буду особенно следить за употреблением выражений «меньших, чем» и «не превышающих»). Но вернемся к нашему основному вопросу: есть ли какое-нибудь правило, какая-нибудь изящная формула, которая даст нам значение π(N), избавив от необходимости заниматься счетом?

Позвольте мне устроить небольшой фокус с таблицей 3.1. Я поделю первую колонку на вторую — аргументы на значения. Я не гонюсь за безумной точностью. И вообще буду пользоваться карманным калькулятором за 6 долларов, с которым я хожу в супермаркет. Вот что получается: 100 разделить на 168 даст 5,9524; 1 000 000 разделить на 78 498 даст 12,7392. Еще четыре результата подобного же вычисления дают нам таблицу 3.2.

N N/π(N) 1 000 5,9524 1 000 000 12,7392 1 000 000 000 19,6665 1 000 000 000 000 26,5901 1 000 000 000 000 000 33,5069 1 000 000 000 000 000 000 40,4204

Посмотрим пристально на эти значения. Они всякий раз возрастают на 7. Точнее, на число, которое болтается между 6,8 и 7,0. Может, вам это и не кажется чем-то особенно чудесным, но когда математик видит такую таблицу, над головой у него ярко вспыхивает лампочка и определенное слово приходит ему на ум. Позвольте объяснить.

VI.

Имеется определенное семейство функций, которые страшно важны в математике, — показательные функции. Не исключено, что вы о них кое-что знаете. Их еще называют «экспоненциальными», и это слово проникло из математики в обычный язык. Мы все надеемся, что наши деньги, вложенные в инвестиционные фонды, будут расти экспоненциально — другими словами, быстрее и быстрее.

С принятой нами точки зрения — иллюстрирования функций двухколоночными таблицами типа таблицы 3.1 — можно нестрого определить показательную функцию следующим образом. Если взять набор значений аргумента так, чтобы при переходе от строки к строке они росли как результат регулярного сложения, и если при этом окажется, что получающиеся значения функции растут как результат регулярного умножения, то перед нами — показательная функция. Слово «регулярный» здесь означает, что происходит прибавление одного и того же числа или умножение на одно и то же число.

Рассмотрим пример. Возьмем правило «вычислить 5×5×5×5×… — выражение, содержащее N пятерок».

N 5N 1 5 2 25 3 125 4 635

Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».

Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».

Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть одна показательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с π, которое проявляет себя во всех областях математики.[17] Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально[18], так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ e для этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.