VIII.

По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = ex, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = eln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)

В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по-настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = ex, то x = ln y.

Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2, а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.

N ln N N/π(N) Ошибка, % 1 000 6,9078 5,9524 16,0409 1 000 000 13,8155 12,7392 8,4487 1 000 000 000 20,7233 19,6665 5,3731 1 000 000 000 000 27,6310 26,5901 3,9146 1 000 000 000 000 000 34,5388 33,5069 3,0794 1 000 000 000 000 000 000 41,4465 40,4204 2,5386

Представляется разумным следующее утверждение: N/π(N) близко к ln N, причем тем ближе, чем больше становится N.

У математиков есть специальная запись для этого: N/π(N) ~ ln N. (Читается так: «N, деленное на π(N), асимптотически стремится к ln N»). Волнистый знак в этой формуле по науке называется «тильда», однако, судя по моему опыту, математики нередко называют его просто «волной».

Если слегка переоформить этот факт, следуя обычным правилам алгебры, то мы получим следующее утверждение.

Разумеется, мы эту теорему не доказали — мы просто увидели, что такое утверждение правдоподобно. Это очень важный результат, настолько важный, что он называется Теоремой о распределении простых чисел. Это не какая-то там теорема о распределении простых чисел, нет, а Теорема о Распределении Простых Чисел. Специалисты по теории чисел нередко пишут просто «ТРПЧ», и в этой книге мы так и будем поступать.

IX.

И наконец, получим два следствия из ТРПЧ (в предположении, конечно, что она верна). Чтобы вывести эти следствия, сначала заметим, что в некотором смысле (логарифмическом смысле!) при работе со всеми числами вплоть до некоторого большого N большинство из этих чисел вполне сравнимы по величине с самим N. Например, среди всех чисел от 1 до одного триллиона более 90 процентов имеют 12 или более разрядов и в этом смысле вполне сравнимы с триллионом (у которого 13 разрядов), а не, скажем, с одной тысячей (с ее четырьмя разрядами).

Если на интервале от 1 до N имеется N/ln N простых чисел, то средняя плотность простых в этом интервале составляет 1/ln N. А поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по размеру с числом N в том грубом смысле, который я только что описал, то справедливым будет заключение, что в районе числа N плотность простых чисел есть 1/ln N. Именно так и есть. В конце первого раздела данной главы мы подсчитали число простых в каждом блоке из 100 чисел, предшествующих 100, 500, 1000, 1 миллиону и 1 триллиону. Результаты этих подсчетов были такими: 25, 17, 14, 8 и 4. Соответствующие значения выражения 100/ln N (т.е. его значения при N = 100, 500 и т.д). с точностью до ближайшего целого числа таковы: 22, 16, 14, 7 и 4. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что в окрестности большого числа N вероятность того, что некоторое число окажется простым, ~ 1/ln N.