У Фалеса были многочисленные последователи в Милете. Двое наиболее известных из них – Анаксимен и Анаксимандр. У последнего, в свою очередь, тоже были ученики, самый известный из которых, Пифагор, прославился благодаря открытой им теореме.

Пифагор родился в начале VI в. до н. э. на острове Самос, расположенном на территории современной Турции, в нескольких километрах от Милета. В юности он учился и путешествовал по античному миру и в конце концов обосновался в городе Кротон на юго-востоке современной территории Италии. Именно здесь он основал свою школу в 532 г. до н. э.

Учениками Пифагора были не только математики и ученые, но и философы, теологи и политические деятели. Стоит отметить, что если бы мы посмотрели на основанное Пифагором сообщество с точки зрения сегодняшнего дня, то оно могло бы показаться опасной и мрачной сектой. Повседневная жизнь пифагорейцев была жестко регламентирована. Каждому, кто хотел попасть в эту школу, предстояло выдержать пятилетний обет молчания. В этом сообществе отсутствовала частная собственность: все блага были общими. В среде пифагорейцев использовались различные символы для инициации, такие, как, например, тетрактис или пентаграмма в форме пятиконечной звезды. Кроме того, пифагорейцы считали себя избранными и не признавали иной власти. По этой причине Пифагор в возрасте 85 лет погиб во время массовых беспорядков.

О Пифагоре сложили множество легенд, некоторые из них поистине невероятны. Если проанализировать их, то становится понятным, что у его учеников было очень яркое воображение. Так, остались свидетельства о том, что Пифагор был сыном Аполлона. Значение имени Пифагор расшифровывается как «возвещенный Пифией»: Пифия Дельфийская была прорицательницей храма Аполлона, она предсказала родителям Пифагора, что их сын станет наипрекраснейшим и наимудрейшим из живущих. Так, от рождения ему предначертано великое будущее. Считается, что Пифагор помнил все свои предыдущие жизни. Например, он был героем на полях сражений в Троянской войне, и звали его Эуфорб. В молодости Пифагор участвовал в Олимпийских играх и одерживал победу во всех соревнованиях по кулачному бою (прообраз современного бокса). Ученый впервые вывел музыкальные гаммы. Он мог ходить по воздуху, умер и воскрес, обладал божественными способностями и мог исцелять людей. Ему повиновались животные, и он мог обращать любой материал в золото.

В то время как основная часть этих историй – полнейшая чушь, даже в самые правдоподобные сложно проверить. Правда ли, что Пифагор был первым, кто ввел понятие «математика»? Факты настолько противоречивы, что рядом ученых само существование Пифагора ставится под сомнение. Ими выдвинута гипотеза, что Пифагор был вымышленным персонажем и использовался пифагорейцами как тотемная фигура для поклонения.

В отсутствие более точных сведений о математике перейдем непосредственно к тому, что прославило философа в веках и изучается учениками уже спустя более чем 2500 лет: теореме Пифагора! О чем же эта знаменитая теорема? Сама ее формулировка может показаться удивительной, т. к. в этой теореме ученый объединил две математические категории, которые ранее рассматривались только самостоятельно: прямоугольные треугольники и квадратные числа.

Возьмем наш любимый прямоугольный треугольник с параметрами 3–4–5. Квадратные числа с такими сторонами будут равны соответственно 9, 16 и 25.

Можно заметить удивительную закономерность: 9 + 16 = 25. Сумма квадратов 3 и 4 равна квадрату 5. Можно предположить, что это просто совпадение, но если мы попробуем проверить данную закономерность на других прямоугольных треугольниках, то каждый раз будет получаться то же самое. Возьмем, например, треугольник со сторонами 65–72–97, который мы можем найти уже в вавилонских таблицах. Соответственно, квадратные значения будут равны: 4225, 5184 и 9409. Сумма 4225 и 5184 равна 9409. Когда приводятся примеры с такими большими числами, сложно поверить в чистое совпадение.

Вы можете проверить, взяв значения сторон любого прямоугольного треугольника – маленького или большого, широкого или узкого, – это правило будет работать всегда! В прямоугольном треугольнике сумма квадратов сторон, образующих прямой угол (катетов), равна квадрату третьей стороны (гипотенузы). И это правило применимо и в обратную сторону: если в треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы – это прямоугольный треугольник. Это и есть теорема Пифагора!

Вполне вероятно, что на самом деле первооткрывателем этой теоремы был не Пифагор и даже не его ученики. Даже если в Вавилоне и не сформулировали данную теорему в том виде, в котором это будет показано далее, есть основания полагать, что уже тогда, за тысячу лет до этого, стали известны соответствующие тройки чисел. Иначе как шумеры смогли бы перечислить все эти значения сторон прямоугольных треугольников в Плинтонской табличке? В Древнем Египте и Китае также с большой долей вероятности знали о закономерности, подтвержденной впоследствии в теореме. Это следует из комментариев к «Математике в девяти книгах», добавленных в более поздних редакциях.

Некоторые считают, что Пифагор был первым, кто продемонстрировал доказательство этой теоремы. Тем не менее однозначного подтверждения этому факту нет, и первым источником, в котором приводится доказательство, является труд Евклида «Начала», датируемый тремя веками спустя.

Для греческих математиков возможность доказать теорему становится ключевым моментом. Ни одна теорема не может считаться состоятельной, если ее не сопровождает доказательство, иными словами, логичное и точное подтверждение. Крайне важным было суметь предметно продемонстрировать доказательство, т. к. в противном случае оставалось сомнение в совершенстве теоремы и были бы возможны неожиданные сюрпризы. Некоторые методы, несмотря на то что широко известны и повсеместно используются, не всегда хорошо работают.

Вот пример. Помните, в папирусе Ахмеса описывалось, как начертить квадрат и круг с одинаковой площадью? В этих рассуждениях, без сомнения, есть ошибка. Отклонения незначительные, тем не менее они есть. При измерении площадей фигур оказывается, что разница составляет приблизительно 0,5 %! Ну что же, для землемеров такая точность достаточна, однако для теоретиков математики недопустима.

Даже среди гипотез Пифагора были ошибочные суждения. Одно из таких заблуждений касалось соизмеримости длин. Пифагор полагал, что в геометрии любые величины соизмеримы, т. е. всегда можно найти достаточно малую величину для измерения любых двух длин. Представьте два отрезка длиной 9 и 13,7 см соответственно. В Древней Греции еще не использовались десятичные значения для измерений, и, таким образом, второй отрезок нельзя было измерить в сантиметрах. Разумеется, нет ничего сложного в том, чтобы определить длину отрезка единицами в десять раз меньшими, чем сантиметры, соответственно, длины отрезков составят 90 и 137 мм. Пифагор был убежден, что любые два отрезка соизмеримы, и их длины можно определить в соответствующих единицах.