Это утверждение опроверг древнегреческий философ-пифагореец Гиппас из Метапонта. Ученому приписывают открытие существования несоизмеримых отрезков, а именно стороны и диагонали квадрата! Какую бы вы ни выбрали единицу измерения, сторона квадрата и его диагональ не будут соизмеримы в целых выбранных единицах. Гиппас привел логическое обоснование этой гипотезы и не оставил никакого сомнения в ее справедливости. Пифагор и его последователи были настолько сильно оскорблены этим, что исключили Гиппаса из школы. В некоторых источниках даже говорится о том, что ученого сбросили с обрыва в море его ученики!

Математикам эти истории могут показаться ужасающими. Можно ли когда-либо чувствовать себя полностью уверенным? Каково это, жить в постоянном страхе того, что в один прекрасный день математическое открытие оборвет вашу жизнь? И треугольник со сторонами 3–4–5 – в самом ли деле он прямоугольный? Нет ли вероятности, что в один из дней выяснится, что, казавшийся абсолютно прямым, он все же не идеален?

Даже сегодня нередки случаи, когда математики становятся жертвами ошибочных догадок. Именно поэтому, продолжая традиции своих древнегреческих предков, современные математики четко разграничивают суждения, которые могут быть однозначно доказаны, так называемые теоремы, и те из них, которые еще не доказаны, получившие название «гипотезы».

Одной из самых известных гипотез нашего времени является гипотеза Римана. Многие математики опираются на ее справедливость и основывают на ней свои исследования. Если когда-нибудь эта теорема будет доказана, их работа также окажется подтвержденной. Но если ее опровергнут, то и все их труды будут напрасны. Ученые XXI в. намного более благоразумны, чем их предшественники из Древней Греции, тем не менее можно предположить: если кому-то удастся опровергнуть гипотезу Римана, даже в текущих условиях на этого человека вполне предсказуемо обрушится гнев некоторых коллег.

Чтобы избежать этого постоянного страха ожидания опровержения, математикам требуется приводить доказательства. Нет, мы никогда не узнаем о том, что треугольник со сторонами 3–4–5 не является прямоугольным. Это точно. И эта уверенность проистекает из теоремы Пифагора, которая подтверждает это. Любой треугольник, сумма квадратов катетов которого равна квадрату гипотенузы, является прямоугольным. Это суждение было для математиков Месопотамии гипотезой, но благодаря древним грекам оно стало теоремой. Уф!

Так в чем же заключается доказательство? Теорема Пифагора – не только одна из самых известных теорем, она также имеет множество различных доказательств. Их насчитывается несколько десятков. Некоторые из них сделаны представителями цивилизаций, которые даже не слышали о Евклиде или Пифагоре – например, подтверждение встречается в китайском произведении «Математика в девяти книгах». Иные доказательства сформулированы уже после Пифагора – с той лишь целью, чтобы остаться в истории и поупражняться в рассуждениях. Так, среди тех, кто сформулировал собственные доказательства теоремы Пифагора, – знаменитый итальянский изобретатель Леонардо да Винчи, а также двадцатый президент США Джеймс Абрам Гарфилд.

Один из наиболее распространенных принципов доказывания – принцип мозаики: если две геометрические фигуры могут быть сложены из равных элементов, то их площади равны. Обратимся к примеру такого доказательства, которое привел в III в. н. э. ученый из Китая Лю Хуэй.

Два квадрата, стороны которых соответствуют катетам, состоят из двух и пяти частей соответственно. Из этих же самых семи частей состоит квадрат со стороной, равной гипотенузе. Площадь квадрата со стороной, равной гипотенузе, таким образом, равна сумме площадей двух других квадратов. И так как значение площади квадрата равно числовому значению квадрата стороны, теорема Пифагора верна.

Для того чтобы доказательство было убедительным, необходимо гарантировать, что все составляющие абсолютно равны по размерам и что это будет верно для любых прямоугольных треугольников.

Попробуем коротко изложить последовательность рассуждений. Почему треугольник со сторонами 3–4–5 прямоугольный? Потому что он подтверждает теорему Пифагора. А почему теорема Пифагора верна? Потому что доказательство Лю Хуэйя подтверждает, что квадрат со стороной, равной гипотенузе, может быть составлен из тех же элементов, что и два квадрата, стороны которых равны катетам. Это все очень напоминает детскую игру в «почему». Проблема этой игры в том, что вопросы никогда не заканчиваются. Каков бы ни был ответ, следом возникает еще один вопрос, начинающийся со слова «почему». Почему? Да, действительно, почему?

Вернемся к нашему примеру: мы утверждаем, что если из одних фигур можно составить другую, то их площади равны. Но как можно убедиться в том, что это действительно так? Что если в зависимости от того, как будут сложены элементы, площади станут отличаться? Такое предположение может показаться абсурдным, не так ли? Настолько абсурдным, что даже странно было бы пытаться это доказывать…

Ситуация непростая. Осложняется она еще и тем, что, даже если нам удастся объяснить, почему принцип мозаики правильный, после этого необходимо будет доказывать справедливость самих аргументов, используемых в целях доказывания!

Математики Древней Греции отдавали себе отчет в существовании этой проблемы. Для того чтобы доказать что-либо, необходимо было от чего-то отталкиваться. Так, первая фраза любого доказывания не может быть доказана как минимум потому, что она первая. Любая математическая конструкция должна начинаться с определенного количества предпосылок, на которых и будут основываться последующие рассуждения.

Такие истины в математике получили название «аксиомы». Как и теоремы и гипотезы, они являются плодами наблюдения математиков, но, в отличие от других двух типов, не требуют приведения доказательств и принимаются как истинные.

«Начала», написанные Евклидом в III в. до н. э., описывают в тринадцати книгах принципы геометрии и арифметики.

О жизни Евклида не сохранилось такого большого количества информации, как о Фалесе или Пифагоре. По одним данным, он жил где-то в районе Александрии. По другим – по аналогии с Пифагором, некоторые историки предполагают, что это вымышленное имя, под которым скрывается наследие нескольких ученых. Наверняка это нельзя определить.

В отсутствии информации о самом ученом человечество получило огромное наследие в виде «Начал», теоретической работы, которая единогласно признается одним из наиболее значительных произведений математики, т. к. именно в нем впервые появилось понятие аксиоматики. Форма написания «Начал» максимально приближена к тому формату, который используется современными математиками. В конце XV в. н. э. «Начала» были среди первых произведений, которые перепечатывались на только что появившемся прессе Гуттенберга. Сегодня произведение Евклида занимает второе по количеству отпечатанных копий место, уступая по этому показателю только Библии.