В первой книге «Начал» Евклида, посвященной, прежде всего, геометрии, была дана следующая система аксиом.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.[7]

Далее приводятся безукоризненные доказательства многочисленных теорем, и для каждого Евклид использует только эти пять аксиом либо результаты, полученные с их применением. Последняя из описанных в первой книге теорем есть не что иное, как теорема Пифагора.

После Евклида многие математики задумывались над вопросом выбора аксиом. Многие из них особенно долго рассуждали над пятой аксиомой. Она куда менее очевидна, чем четыре другие. Часто ее заменяют другой аксиомой, которая позволяет прийти к аналогичным выводам: через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой. Дебаты по поводу выбора пятой аксиомы продолжались вплоть до XIX в., когда появились новые геометрические модели, для которых эта аксиома неверна.

Открытие аксиом приводит к еще одной проблеме: проблеме определений. Все эти используемые слова: точки, части, углы, различные круги, – что они обозначают? Так как для приведения доказательств вопрос формулирования определений бесконечен, самое первое определение будет дано с использованием определенных терминов впервые.

В «Началах» определения появляются раньше, чем аксиомы. Первая фраза первой книги – определение точки.

Как же с этим быть! Этим определением Евклид хотел сказать, что точка – это наименьшая из геометрических фигур. Невозможно разделить на части точку, т. к. она неделима и не имеет частей. В 1632 г. в первом французском издании «Начал» Дени Энрион (Denis Henrion) немного расширил определение, уточнив, что у точки нет ни длины, ни ширины, ни толщины.

Отрицательные определения оставляют возможности для скепсиса. Сказать, чем точка не является, это не то же самое, что сказать, чем она является! И это настолько хитро, что лучше и не придумаешь. В некоторых школьных учебниках начала XX в. можно найти следующее определение: точка – это оттиск, оставленный на листке бумаги абсолютно острым карандашом. Абсолютно острым! В этот раз определение конкретное. От такого определения у Евклида, Пифагора и Фалеса волосы на голове встали бы дыбом, ведь они приложили много сил для того, чтобы сделать из геометрических фигур абстрактные идеальные объекты. Ни один карандаш, как бы хорошо он ни был заточен, не сможет оставить такой оттиск, который не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины.

Коротко говоря, никто наверняка не может сказать, что же такое точка, но все согласны с тем, что сама ее природа настолько очевидна, что применение определений может привести к еще большей двусмысленности. Мы в той или иной степени уверены, что говорим об одном и том же, когда используем термин «точка».

Это допущение будет использоваться во всех первых определениях и аксиомах, которые станут базовыми для самой геометрии. И, за неимением лучшего, этот принцип используется во всех математических моделях.

Определения, аксиомы, теоремы, доказательства – путь, проложенный Евклидом, определил принципы работы будущих математиков. Однако, несмотря на то что теории структурировались и становились проще, математики столкнулись с новыми явлениями, которые, подобно песчинкам в ботинке, стали мешать стройности рассуждений: они получили название «парадоксы».

Парадокс – это пример того, что должно работать, но по какой-то причине не работает. И это противоречие необъяснимо. Объяснение, которое кажется абсолютно верным, тем не менее приводит к совершенно невероятному и абсурдному заключению. Представьте себе перечень аксиом, кажущихся вам бесспорными. Однажды вы столкнетесь с теоремой, которая докажет их ошибочность. Кошмар!

Один из самых известных парадоксов связывают с именем Евбулида Милетского и словами поэта Эпименида. Последний заявил однажды, что «все жители Крита – лгуны». Проблема заключается в том, что Эпименид и сам был критянином. Таким образом, если то, что он сказал, верно, то это утверждение ложно… и, следовательно, его слова ложь. А если, напротив, утверждение ошибочно, то он солгал и утверждение верно! Впоследствии появились многочисленные варианты данного парадокса, среди которых один из наиболее простых может быть сформулирован как «я лгу».

Парадокс лжеца ставит под сомнение мысль о том, что любое утверждение не может быть одновременно и верным, и неверным. Третьего не дано. В математике этот принцип получил название «закон исключенного третьего». На первый взгляд, можно было бы принять этот принцип в качестве аксиомы. Однако парадокс лжеца дает нам понять, что ситуация может оказаться не такой очевидной. Если сформулированная закономерность подтверждает свою собственную неверность, с логической точки зрения нельзя признать ее ни верной, ни неверной.

Несмотря на это многие математики и по сей день придерживаются закона исключенного третьего и считают его верным. В конце концов, парадокс лжеца на самом деле не столько математическое наблюдение, сколько лингвистическое несоответствие. Более чем через две тысячи лет после Евбулида логики заметили, что парадоксы такого рода могут также возникать в контексте самых строгих теорий, что, безусловно, заставляло волноваться математиков.

Зенон Элейский, живший в Древней Греции в V в. до н. э., также прославился своими парадоксами. Ему приписывается авторство десятка парадоксов. Один из самых известных – это парадокс Ахиллеса и черепахи.

Представьте забег, в котором участвуют знаменитый своими физическими способностями Ахиллес и черепаха. Чтобы уравнять их шансы, предоставим черепахе фору, скажем, в 100 м. Несмотря на это кажется, что Ахиллес, скорость которого в разы превышает скорость черепахи, рано или поздно обгонит ее. Зенон, однако, убеждает нас в обратном.

Рассмотрим забег в несколько этапов – говорит нам Зенон. Для того чтобы обогнать черепаху, Ахиллес должен для начала преодолеть хотя бы расстояние, отделяющее его от черепахи. Когда Ахиллес пробежит эти сто метров, черепаха уже будет чуть дальше, и, таким образом, Ахиллесу нужно будет пробежать еще и этот интервал, чтобы ее догнать. Но когда он преодолеет этот участок, черепаха окажется еще чуть дальше. Так можно продолжать и продолжать, но черепаха все равно окажется чуть дальше, чем атлет.