Разные результаты анализа структуры одного и того же предложения выявили разные предикаты на одном или двух местах. Мы увидели, что путем позиционных изменений в данном предложении можно различить два вида компонентов. Предикат «такой же хороший оратор, как Демосфен» появляется, если представить, что на место слова «Цицерон» можно поставить слова «Исократ» или «Перикл», оставив неизменной остальную часть предложения; аналогичным образом предикат «такой же хороший оратор, как» выявляется, если мы признаем, что можем заменить два имени собственных – «Демосфен» и «Цицерон» на другие – «Фокион» и «Горгий» или «Исократ» и «Перикл». При этом каждый раз мы отмечали, что в предложении имеется одна неизменяемая часть и одна или несколько изменяемых частей, демонстрируя различие ролей, которые играют те и другие.

Итак, из вышеизложенного следует, что необходимо различать выражения, самостоятельно обозначающие определенные предметы, и выражения, которым словно требуется быть дополненными выражениями первого типа. Другими словами, мы имеем дело либо с именами собственными, такими как «Цицерон» или «Исократ», либо с тем, что Рассел называл пропозициональными функциями, – «такой же хороший оратор, как», – которые лучше записывать при помощи «переменных»: «х такой же хороший оратор, как у», причем х и у могут быть заменены только именами собственными. Таким образом, «пропозициональная функция» – это выражение, которое становится суждением вследствие подстановки вместо «переменных» имен собственных. Ясно, что в пропозициональной функции может содержаться любое количество аргументов.

Одноместные пропозициональные функции (с одним аргументом) – эквиваленты тому, что обычно зовется свойствами (или понятиями), а многоместные (с двумя и более аргументами) – эквиваленты тому, что обычно зовется отношениями. Элементарные суждения (почему они являются элементарными, мы увидим позже) можно записать в виде следующих формул: F(a), G(b, b’), H(c, c’, c’’) и т. п., в которых наряду с пропозициональными функциями F(x), G(y, y’), H(z, z’, z’’) присутствуют имена собственные предметов a, b, b’ и т. д.

Использование понятия «функция» оправдано по следующей причине: в математике, например, говорят, что x² есть функция, которая умножает каждое число на само себя; если подставить на место «x», к примеру, имя числа 4, получится имя другого числа – в данном случае 16. Тогда говорят, что функция x² принимает значение, равное 16, при значении аргумента, равного 4. Аналогичным образом функция «х такой же хороший оратор, как» принимает истинностное значение «истинно» (по Фреге) или значение «Демосфен такой же хороший оратор, как Цицерон» (по Расселу) при значениях аргументов «Демосфен» и «Цицерон». Итак, пропозициональная функция придает одному или нескольким аргументам значение истинности (то есть истинно или ложно, согласно Фреге) или (следуя Расселу) пропозицию (истинную или ложную).

На основе всего вышеизложенного можно понять, как поверхностная грамматика естественного языка маскирует «истинную» логическую форму предложений, обнаруживая при этом ограниченность аристотелевской логики. Сравним два внешне похожих предложения «Цицерон является хорошим оратором» и «трибуны являются хорошими ораторами». Эти предложения имеют одинаковую грамматическую структуру, и все их отличие состоит в том, что подлежащее в единственном числе «Цицерон» в первом предложении было заменено на подлежащее во множественном числе «трибуны» во втором. Поэтому может показаться, что в первом из них говорится о Цицероне то же, что во втором – о трибунах в целом. Как уже отмечалось, Аристотель – а вслед за ним и вся традиционная логика – придерживался именно такой точки зрения, несмотря на то что она порождала явные метафизические проблемы, о которых упоминалось ранее.

Логический анализ, разработанный Фреге и Расселом, приводит к совершенно иному выводу. Первое предложение можно проанализировать следующим образом: «Цицерон / является хорошим оратором» – и записать в символической форме F(a). Во втором же предложении отсутствует имя собственное, и потому это предложение не может иметь форму «функция / аргумент». Какова же его форма?

Прежде всего, нужно отметить, что слово «трибуны» может содержаться в пропозициональной функции (в понятии) «х является трибуном», не обозначающей никакого конкретного предмета, но способной превратиться в истинное или ложное высказывание при подстановке вместо х, например, имени Цицерон. Итак, мы видим, что «трибуны» по своей логической природе схожи с «является хорошим оратором»; речь идет о двух понятиях, и, соответственно, предложение выражает не только то, что предмет обладает неким свойством (или, как говорят логики, «подпадает под то или иное понятие»), но и то, что между этими двумя понятиями существует определенное отношение. Какое именно? Для того чтобы выявить тот факт, что речь идет о двух понятиях, запишем предложение следующим образом: «то, что является трибуном, является хорошим оратором» или, точнее: «все, что является трибуном, является хорошим оратором». «То, что» указывает здесь на какой-либо предмет: такую-то лошадь, такую-то звезду, такой-то фотон – на все что угодно, – и мы говорим, что если предмет, каким бы они ни был, обладает свойством быть трибуном (подпадает под понятие «х является трибуном»), то он также обладает свойством быть хорошим оратором (подпадает под понятие «х является хорошим оратором»). Рассмотрим совокупность предметов, которые подпадают под понятие «х является трибуном», и совокупность предметов, которые подпадают под понятие «х является хорошим оратором». Из предложения следует, что первая совокупность предметов «включена» (как говорят математики) во вторую. В этом случае считают, что понятие, соответствующее первой совокупности предметов, подчинено понятию, соответствующему второй совокупности. Такого рода предложение может быть записано в следующем виде: при любом х, если F(x), то G(x).

А теперь вернемся к предложению «Цицерон является хорошим оратором». Оно означает, согласно введенной ранее терминологии, что Цицерон обладает свойством быть хорошим оратором или, если угодно, подпадает под понятие «х является хорошим оратором». Другими словами, это значит, что Цицерон принадлежит (опять-таки, как говорят математики) к совокупности предметов, которые подпадают под понятие «х является хорошим оратором».

Можно ли спутать эти два значения глагола «являться»: то, которое позволяет говорить, что конкретный предмет подпадает под то или иное понятие (принадлежит к совокупности), и то, которое позволяет говорить, что одно понятие подчинено другому понятию (или что одна совокупность включена в другую)? Разумеется, нет! Для того чтобы в этом убедиться, достаточно обратить внимание на то, что лишь во втором случае мы имеем дело с транзитивным отношением. Второе отношение называется транзитивным потому, что, к примеру, из посылок «трибуны являются хорошими ораторами» и «хорошие ораторы являются народными вождями» можно закономерно заключить, что «трибуны являются народными вождями» (что в действительности представляет собой лишь пример силлогизма типа Barbara).