— скажете вы. — Ясно, что в тот момент, когда тень Фалеса была равна его росту, тень пирамиды плюс половина основания равнялись ее высоте».

Для вас, знающих геометрию, задача Фалеса кажется совсем легкой, но не забудьте, что дело происходило 2500 лет назад, задолго до знаменитого греческого математика Эвклида, создавшего геометрию.

Высота дерева

Узнать высоту предмета с помощью собственной тени можно только в солнечный день. С древних времен геометрия создала много других способов измерения высоты предметов.

Расскажу о некоторых из них.

Во время Великой Отечественной войны командиру отдельного саперного батальона было приказано срочно построить мост через речку. Он вызвал к себе сержанта и приказал ему узнать высоту деревьев в ближайшем лесу.

Сержант воткнул шест длиной около 2,5 метра на некотором расстоянии от измеряемого дерева, надрезал на шесте черточку на высоте глаза, затем отошел от шеста и стал в такой точке, чтобы конец шеста закрывал собой макушку дерева.

Сержант стал в такой точке, чтобы при взгляде на шест конец шеста закрывал макушку дерева.

Как видно из рисунка, получились два подобных прямоугольных треугольника, и можно написать такую пропорцию:

Расстояние от сержанта до шеста / расстояние от черты на шесте до его верхушки = расстояние от сержанта до дерева / высота верхней части дерева

Первые три величины (расстояние до шеста, расстояние от черты на шесте до его верхушки, расстояние до дерева) сержант измерил рулеткой, а по ним узнал четвертую, прибавил к ней высоту своего глаза над землей — и получил высоту измеряемого дерева.

Вот еще один очень несложный способ.

У вас есть линейка с миллиметровыми делениями. Это и будет ваш высотомер.

Станьте где-нибудь в стороне от дерева, вытяните руку и держите линейку вертикально.

Измерение высоты дерева при помощи линейки.

Ноль линейки направьте на самый низ дерева и одновременно посмотрите, какая цифра на линейке совместится с его макушкой.

Опять получились подобные, но не прямоугольные, а равнобедренные треугольники, из которых можно составить такую пропорцию:

Расстояние от глаза до линейки / длина линейки до отмеченной цифры = расстояние от глаза до дерева / высота верхней части дерева

Вы знаете, что первый размер равен 0,6 метра, отсчет по линейке вы уже взяли, расстояние от глаза до дерева вы измерите[13]. По этим трем величинам вы узнаете четвертую — высоту дерева.

Наконец, можно измерить высоту дерева с помощью крестовины вашего эккера. Возьмите ее в руки вертикально и станьте в такой точке, чтобы один створ булавок — № 1 и № 3 — был направлен на черту на дереве, замеченную на высоте вашего глаза, а другой створ булавок — № 1 и № 2 — под углом 45° на макушку дерева.

Измерение высоты дерева при помощи крестовины эккера.

Как видите, у вас получился равнобедренный прямоугольный треугольник, и, следовательно, высота дерева равна расстоянию от вас до дерева плюс ваш рост до глаз.

Во всех описанных случаях предполагается, что и дерево и наблюдатель находятся на одной горизонтальной плоскости.

Самодельные эклиметры

Предположим, нужно быстро узнать высоту холма, на котором стоит колхозный скотный двор, по отношению к уровню воды в реке, так как предполагается строить водокачку.

Высоту холма можно измерить с помощью довольно простого самодельного прибора, называемого эклиметром. 

Сделайте его так. Возьмите прямоугольный кусок фанеры размером 20 X 30 сантиметров, наклейте на него лист бумаги и у края длинной стороны прочертите прямую линию, на которой отметьте три точки А, В и С так, чтобы расстояние АВ было равно расстоянию ВС. Циркулем-измерителем восстановите из точки В перпендикуляр ВD, затем с помощью того же циркуля из точки В проведите дугу окружности радиусом ВD, на которой от точки D тем же радиусом отмерьте точки Е и F. Очевидно, каждый из углов ЕВD и DВЕ равен 60° (как углы равносторонних треугольников — два радиуса и хорда, равная радиусу).

Затем как можно точнее циркулем разбейте эти дуги на четыре части, каждые 15° еще на три части, снова на пять частей, пока не разобьете всю дугу черточками на градусные деления (циркулем-измерителем разбить дугу на градусы можно гораздо точнее, чем с помощью транспортира). Точка D у вас будет нолем эклиметра. В обе стороны от нее через каждые десять черточек проставьте цифры — десятки градусов.

Эклиметр

Теперь воткните в точки A, В и С по булавке; к булавке В на тонком шнурке привяжите какой-либо груз, например гайку. Вы знаете, что такой груз на шнурке называется отвесом.

Эклиметр у вас готов. Идите измерять высоту холма.

Измерение высоты холма с помощью эклиметра.

Станьте на берегу реки и направьте булавки эклиметра на скотный двор, собственно не на самую вершину холма, а немного выше, на величину, примерно равную вашему росту до глаз. Ноль эклиметра отойдет от шнурка с отвесом на какой-то угол. Нетрудно догадаться, что этот угол равен углу наклона холма — α, потому что стороны обоих углов соответственно перпендикулярны. Отсчитайте величину этого угла. На вашем эклиметре имеются градусные деления, поэтому на глаз вы сможете взять отсчет до ½°, даже до ¼°. Теперь измерьте рулеткой расстояние от реки до скотного двора. Только когда будете измерять, ленту кладите на землю плашмя.

Дóма по углу наклона и по измеренному по гипотенузе расстоянию вы сумеете построить на бумаге уменьшенный в 100, 200 или в 500 раз прямоугольный треугольник, в котором катет (высоту холма) измерите простой линейкой.

Узнать размер катета СВ, противолежащего углу, еще проще по прилагаемой в конце книги (стр. 191) таблице, причем в таблице предусмотрены два случая: один — когда нужно узнать высоту горы и известны угол наклона и гипотенуза АС, и другой — когда нужно узнать высоту дерева, фабричной трубы, а иногда и горы и известны угол наклона и прилежащий катет АВ. Этот угол наклона дается в таблицах через полградуса. Углами больше 45° практически пользоваться не приходится.

В таблице на стр. 191{2} дается величина катета СВ, когда АС или АВ равны 100 метрам; отсюда нетрудно вычислить величину СВ и при любых других размерах АС или АВ.