в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: «А Земля – это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды – это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной». Человек, вовсе не имеющий представления об устройстве мироздания, признаётся выпадающим из культуры. Вспомним, как изумился доктор Ватсон, когда вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит узнал: Холмс понятия не имеет, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже полагает это знание совершенно излишним. «Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, – возражал Холмс. – А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?» Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным только то знание, которое может быть использовано в практических целях. Ватсон считает – и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту точку зрения, – что некоторые знания обязательны независимо от того, имеют они практическое применение или нет. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.

Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека[21] (выражение «культурный человек» в силу расхожести и затрёпанности отдает дурновкусием, но ради ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые математические представления, не нашедшие утилитарного использования. Это не только факты, но также понятия и методы оперирования с ними.

Роль математики в современной материальной культуре, как и роль её элементарных разделов в повседневном быту, достаточно известна, так что на ней можно не останавливаться. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.

Математические идеи способны вызывать эмоции, сравнимые с теми, что вызывают литературные произведения, музыка, архитектура. К сожалению, косные методы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы отчасти, не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова Николай Николаевич Лузин (1883–1950): «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. ‹…› Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. ‹…› Я говорю о красоте более глубокой [чем та, которая поражает наши чувства. – В. У.], проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?»

Являясь (через Колмогорова) научным «внуком» Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле «математика для математики», образованной по аналогии с известным слоганом «искусство для искусства». Однако всё не так просто. Следует огорчить поклонников чистого разума и утешить приверженцев практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX в. математическая логика рассматривалась как наука, занятая исключительно проблемами логического обоснования математики, своего рода философский анклав в математике; в СССР борцы со всевозможными «-измами» ставили её под подозрение, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 г. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (theoretical computer science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших в математике, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, равно как и другие важные направления, объединённые названием «защита информации». Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её (математики) абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, исследования которых составляют передовой край науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считалось, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем люди пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли эта мысль затеплилась бы в человеческом сознании, не обладай оно представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство, известное из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто, не владея учёной терминологией, ведать не ведал, что это за «евклидово пространство» такое. (Вспомним мольеровского Журдена, не подозревавшего, что он говорит прозой.) И действительно, а как же может быть иначе? Первыми прониклись сомнением в XIX в. независимо друг от друга в России великий геометр Лобачевский, а в Германии – великий математик Гаусс и, возможно, юрист и математик Швейкарт[22]. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы ещё коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила неевклидовость мироздания, предсказав искривление пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым отклонением луча света вблизи таких объектов. Некоторые свойства пространства-времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять подобные свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены структуры, обладающие требуемыми свойствами.

В частности, математические модели позволяют понять два непривычных качества окружающего нас пространства – его признанную сообществом физиков кривизну и его возможную четырёхмерность (нельзя исключать, что измерений ещё больше). Говоря о четвёртом измерении, мы не имеем в виду время (которое иногда не без оснований так называют), а ведём речь об измерении в прямом, пространственно-геометрическом смысле. Не исключено, что в реальности[23] пространство, в котором мы живём, четырёхмерно (или даже имеет пять, шесть, а то и больше измерений), хотя непосредственному наблюдению, по крайней мере до сих пор, было доступно лишь его трёхмерное подпространство. Осознание подлинной размерности пространства (оставим в стороне вопрос о смысле слова «подлинный») может оказаться важным для познания мира. Представим себе двумерную поверхность (например, плоскость или сферу), по которой ходит слон. Его следы на поверхности имеют