треугольника строят вышки с таким расчётом, чтобы каждая была видна с других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, путём непосредственного измерения получают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляют длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать длины сторон и углы любого из треугольников, примыкающих к начальному, и т. д. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводят только один раз, а дальше уже измеряют только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией.

В частности, именно так в XIX в. была найдена длина дуги меридиана от широты Северного Ледовитого океана (в районе Хáммерфеста на норвежском острове Квáлё) до широты Чёрного моря (в районе дельты Дуная). Она была составлена из длин 12 отдельных дуг. Процедура облегчалась тем, что для измерения длины дуги меридиана вовсе не требуется, чтобы составляющие дуги примыкали друг к другу концами; достаточно, чтобы концы соседних дуг находились на одной и той же широте. (Например, если нужно узнать расстояние между 70-й и 40-й параллелями, то можно на одном меридиане измерить расстояние между 70-й и 50-й параллелями, на другом меридиане – расстояние между 50-й и 40-й параллелями, а затем сложить полученные расстояния.) Общее число треугольников триангуляции равнялось 258, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы исключить неточности при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности. Измерения проводились с 1816 по 1855 г., а результаты были изложены в двухтомнике «Дуга меридиана в 25°20′ между Дунаем и Ледовитым морем» (СПб., 1856–1861), принадлежащем перу замечательного российского астронома и геодезиста Василия Яковлевича Струве (1793–1864), осуществившего российскую часть измерений.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, их можно спокойно забыть. Знать – и не только знать, но и осознавать, понимать – надо следующее (и именно это должно входить в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающих к ней углов, и этот очевидный факт может быть использован и реально использовался для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем затверженные наизусть формулы.

Наконец, о равенстве 3² + 4² = 5². Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a² + b² = c², то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми, а саму тройку (a, b, c) таких чисел – пифагоровой тройкой. Если будем последовательно умножать члены нашей «египетской» тройки (3, 4, 5) на 2, 3, 4, 5 и т. д., получим бесконечный ряд пифагоровых троек: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25) и т. д. Но и количество «первичных» пифагоровых троек, не получающихся друг из друга умножением на число, также бесконечно; вот несколько примеров таких троек: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41). Известен способ, позволяющий получить все пифагоровы тройки.

Возникает естественный вопрос: а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и более высокие степени? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a³ + b³ = c³, или равенство a4 + b4 = c4, или a5 + b5 = c5 и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма. Более точно, условимся называть тройкой Ферма для показателя n любую тройку целых положительных чисел a, b, c, для которой выполняется равенство an + bn = cn. Таким образом, пифагоровы тройки суть не что иное, как тройки Ферма для показателя 2. Итак, вопрос состоит в том, существует ли тройка Ферма для какого-либо показателя, большего двух.

Этим вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII в. Пьер Ферма (вообще-то, занятия математикой, а заодно и оптикой для него были хобби, служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Ферма оставил потомкам лишь две латинские фразы, написанные им около 1637 г. на полях изданной в 1621 г. в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. (Поля в книге были широкими, и Ферма делал на них заметки по ходу чтения.) И вот какие две фразы он, в частности, написал (приводим их в переводе): «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet (букв. скудость поля его не вмещает)]». В бумагах Ферма после его смерти было найдено лишь доказательство Великой теоремы для показателя 4, т. е. невозможности равенства a4 + b4 = c4 ни при каких целых положительных a, b, c (а в нашей терминологии – отсутствия троек Ферма для показателя 4).

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их, да и то, как правило (если не всегда), без доказательств, сообщалась им в личной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 г. К