Неправильное понимание концепций, возникающее у учеников при рассмотрении идеальных примеров, аналогично проблемам, возникающим при отработке обособленных методов. Ученикам дают несложные ситуации, требующие простого применения процедур (а во многих случаях никаких ситуаций и нет). Ученики изучают метод, но, когда им дают математические задачи или нужно использовать математику в реальном мире, они не могут применить его (Organisation for Economic Co-operation and Development, 2013). Реальные задачи зачастую требуют отбора и адаптации методов, применению которых дети никогда не учились и даже не знают о них. В следующей главе мы проанализируем характер содержательных математических задач, позволяющих избежать таких проблем.

В ходе знаменитого научного исследования в Англии я три года отслеживала успеваемость учеников при применении подхода к изучению математики, основанного на практике. Дети снова и снова отрабатывали на уроках обособленные примеры (Boaler, 2002a). Я сравнила их результаты с результатами, полученными в случае, когда ученикам демонстрировали всю сложность математики. При этом предполагалось, что дети должны постоянно размышлять на концептуальном уровне, выбирая и применяя те или иные методы. Два этих подхода к преподаванию математики использовались в разных школах в работе с учениками одинакового происхождения и уровня успеваемости, причем обе школы находились в небогатых районах. Дети, которых учили многократно отрабатывать методы в школе с жесткими требованиями ко времени выполнения заданий, получили гораздо более низкие оценки во время государственного экзамена по математике по сравнению с теми, кого стимулировали размышлять на концептуальном уровне. Во время государственного экзамена (включающего ряд процедурных вопросов) ученики традиционной школы столкнулись с серьезной проблемой: они не знали, какой метод выбрать, чтобы найти ответы. Они многократно отрабатывали методы, но им никогда не предлагали проанализировать ситуацию и выбрать подходящий. Вот размышления двух учеников этой школы о трудностях, с которыми они столкнулись во время экзамена.

Чересчур упрощенный подход к математике — одна из причин проблем в ее изучении. Вдобавок у учеников не развивается математическое мышление: им внушают, что на уроках математики нет места размышлениям и осмыслению концепций, требуется лишь многократное повторение определенных методов.

В ходе еще одного исследования, которое было проведено в США, мы спрашивали детей, которых обучали математике по модели отработки методов, какова их роль на уроках по этому предмету (Boaler & Staples, 2005). Поразительно много учеников (97%) дали один и тот же ответ: «Максимально сосредоточиться». Этот пассивный акт наблюдения (а не размышлений, построения логических выводов или осмысления) не приводит к пониманию предмета или формированию математического мышления.

Ученикам часто дают практические задания по математике на дом. Но многие данные демонстрируют, что домашние задания в любой форме бесполезны или губительны (подробнее см. главу 6). У меня есть дети, и домашние задания — самая распространенная причина слез в нашем доме, а математика — предмет, работа над которым дома вызывает у детей самый сильный стресс, особенно если задание представляет собой длинный список разрозненных вопросов.

Ученики получают целые страницы домашних заданий по математике. Кажется, никому нет дела до того, как плохо это влияет на обстановку в доме. Но есть надежда: в школах, где заданий на дом не дают, успеваемость не снижается; при этом в семьях учеников существенно повышается качество жизни (Kohn, 2008).

Результаты крупных научных исследований показали, что домашние задания практически не влияют на уровень успеваемости (Challenge Success, 2012), но при этом создают заметное неравноправие (Program for International Student Assessment, 2015). Мы вернемся к этой проблеме в главе 6. Задания на дом играют крайне негативную роль в жизни многих родителей и детей. Исследования показывают, что единственный случай, когда она эффективна, — если ученики получают ценный учебный опыт, а не листы с задачами, и когда она рассматривается не как норма, а как возможность время от времени давать ученикам содержательные задания. Мои дочки учатся в школах, где знают о результатах научных исследований о домашней работе, поэтому обычно дают ученикам только полезные задания по математике (например, головоломки KenKen[12]). Но и там учителя время от времени давали детям по 40 задач на вычитание или умножение. Я видела, как у моих детей портится настроение, когда они получают такие задания. В такие моменты я объясняю им, что целая страница однотипных вопросов — это не настоящая математика, а когда они успешно выполняют несколько заданий (обычно четыре или пять), я предлагаю им прекратить работу. Затем я пишу учителю записку, что я вполне удовлетворена тем, как мои дети поняли метод, и не хочу, чтобы они отвечали еще на 35 вопросов, поскольку из-за этого у них сформируется пагубное представление о математике.

Если вы работаете в школе, где домашняя работа обязательна, можно использовать задания, которые гораздо более эффективны, чем страницы однотипных вопросов. Екатерина Мильвидская и Тиана Тебельман, два учителя-новатора, с которыми я работаю в объединенном школьном округе Виста, создали перечень вопросов для домашней работы. Они каждый день выбирают вопросы, позволяющие их ученикам более глубоко проанализировать и понять математические концепции, которые они изучали в тот день. Как правило, на один вечер ученикам дают по одному вопросу для размышлений и одно — пять заданий (в зависимости от сложности), которые нужно выполнить. В примере 4.2 представлены некоторые из этих вопросов.