Я преподавала математику на всех уровнях среднего и высшего образования в Англии и США. Кроме того, я изучила сотни заданий по математике на всех уровнях 16-летнего образования в обеих странах и проанализировала, как дети и подростки изучают математику и какие условия благоприятны для этого. Мне удалось накопить богатый опыт — и это большая удача по многим причинам, одна из которых состоит в том, что это помогло мне понять суть истинной вовлеченности и глубокого изучения математики. Я наблюдала, как самые разные школьники и студенты вдохновляются математикой, что дало им прекрасную возможность получить представление о математических концепциях и взаимосвязях между ними. Я пришла к выводу, что и 11-летние ученики, сталкивающиеся с серьезными трудностями в изучении математики, и успешные студенты лучших университетов испытывают одинаковое воодушевление, которое включает в себя такие аспекты, как любознательность, установление связей, вызов, творчество и, как правило, сотрудничество. На мой взгляд, это и есть пять аспектов вовлеченности. Ниже я расскажу о характере вовлеченности и воодушевления в связи с изучением математики, прежде чем рассматривать свойства задач, обеспечивающих вовлеченность. Их могут давать на своих уроках математики все учителя.

Вместо того чтобы анализировать суть вовлеченности бесстрастно и абстрактно, я хочу показать вам пять примеров истинного воодушевления. Я считаю его вершиной вовлеченности. Речь пойдет о ситуациях, которые я наблюдала в разных группах и благодаря которым сделала важные выводы о сути преподавания и задачах, которые открывают такие возможности для обучения. Первый пример взят не из школы, а из особой среды одного из стартапов Кремниевой долины. Он раскрывает один сильнейший аспект воодушевления, который я хотела бы донести до всех учителей математики.

1. Понимание открытости чисел

В конце декабря 2012 года, за несколько дней до отъезда в Лондон на праздники, я впервые встретилась с Себастьяном Труном и его командой в Udacity — компании, которая занимается организацией онлайн-курсов. Мне предложили приехать к ним, чтобы дать членам команды консультации по поводу математических курсов и способов создания возможностей для эффективного обучения. В тот день я зашла в просторный офис компании в Пало-Альто и сразу поняла, что попала в стартап Кремниевой долины. Велосипеды на стенах; молодые люди, в основном парни, в футболках и джинсах, погрузились в компьютеры или сидят, обсуждая различные идеи. В офисе не было никаких перегородок, только кабинки и много света. Я прошла мимо кабинок в конференц-зал, расположенный в задней части офиса за стеклянной стеной. Около 15 человек втиснулись в небольшое помещение и сидели на стульях и на полу. Себастьян вышел вперед, пожал мне руку, представил меня присутствующим и пригласил сесть. Затем он начал забрасывать меня вопросами: «Каким должен быть хороший курс математики? Как ее преподавать? Почему ученики не справляются с математикой?» Себастьян сказал, что, по мнению его друга Билла Гейтса, алгебра стала причиной многочисленных неудач с изучением математики в США. Я дерзко ответила: «О, так вам сказал об этом преподаватель Билл Гейтс?» Присутствующие улыбнулись, а Себастьян пораженно застыл. Затем он спросил: «Ладно, а что вы думаете?» Я сказала, что ученики не справляются с алгеброй не потому, что это трудный предмет, а потому, что у них нет чувства числа, которое является основой этой дисциплины. Крис, один из разработчиков курсов, в прошлом учитель математики, кивнул в знак согласия.

Себастьян продолжил забрасывать меня вопросами. Когда он спросил, каким должно быть хорошее задание по математике, я прервала беседу и спросила присутствующих, могу ли я задать им один математический вопрос. Они охотно согласились, и я разыграла мини-версию разговора о числах. Я попросила присутствующих подумать, как можно найти произведение 18 × 5, и показать мне, что ответ готов, молча подняв палец вверх. Вскоре у всех членов команды были ответы. В тот день для решения примера было использовано шесть разных методов, и я нарисовала их на столе, вокруг которого мы сидели (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Визуальные решения примера 18 × 5

Затем мы обсудили сходство и различия между этими методами. Когда я изображала их с помощью рисунков, глаза присутствующих становились всё шире. Некоторые начали взволнованно вскакивать с мест. Кто-то сказал, что даже не представлял себе, как много способов анализа абстрактной числовой задачи существует. Другие были поражены тем, что существует визуальное представление такой задачи и оно так наглядно иллюстрирует математику.

Когда несколько дней спустя я приехала в Лондон, мне пришло электронное письмо от Энди, молодого разработчика курсов из Udacity. Он составил онлайновый мини-курс по примеру 18 × 5, в процессе работы над которым прохожих на улице спрашивали, как они решили бы этот пример, чтобы собрать разные методы. Члены команды были настолько воодушевлены этими идеями, что захотели сразу же выложить их в открытый доступ; в команде говорили даже о том, чтобы изготовить для всех сотрудников Udacity футболки с надписью «18 × 5».

Через несколько месяцев после встречи в Udacity я познакомилась с Люком Бартеле, который был тогда директором Wolfram Alpha — одной из самых важных математических компаний в мире. Люк прочитал о разных методах решения примера 18 × 5, которые я описала в своей книге (Boaler, 2015), и это так заинтересовало его, что он начал спрашивать всех, с кем встречался, как бы они решили этот пример. Я считаю важным рассказать об этой реакции, моментах глубокого воодушевления по поводу абстрактной математической задачи. Почему всем этим пользователям высшей математики, как и маленьким детям, так интересно представлять себе и анализировать разные методы решения на первый взгляд неинтересной задачи, такой как 18 × 5? Возможно, вовлеченность обусловлена тем, что люди отмечают в математике элемент творчества, и тем, что они по-разному видят математические идеи. Это интересно само по себе, но верно и то, что большинство моих знакомых, даже математики высокого уровня, никогда не осознавали, что числа могут быть настолько открытыми, а для решения задач с ними можно использовать так много разных способов. Вовлеченность еще больше усиливается, когда это осознание приходит вместе с глубоким визуальным пониманием математических методов работы.

Я использовала аналогичные задачи в работе с учениками средней школы, студентами Стэнфорда и генеральными директорами компаний. Все они демонстрировали одинаковую вовлеченность. Благодаря этому я поняла, что людей восхищают присущие математике гибкость и открытость. Это наука, которая требует точного мышления, но, когда оно сопровождается изобретательностью, гибкостью и многообразием идей, люди начинают воспринимать ее как живую науку. Учителя могут создавать такое воодушевление на уроках при работе над любыми задачами, предлагая ученикам описать разные способы представления и решения задач и поощряя обсуждение разных способов визуального представления. Они должны уделять внимание выполнению правил работы на уроке и объяснять ученикам, что те должны слушать и уважать мнение друг друга. В главе 7 представлено описание стратегии, которая позволяет добиться этого. Если ученики уважают друг друга и внимательны к одноклассникам, очень интересно наблюдать, с какой вовлеченностью они рассказывают о разных способах решения задачи.