Рис. 4.5. Воздействие на мышление учеников

Источник: Blackwell et al., 2007.

Сигналы в отношении мышления очень важны для учеников, а когда они сопровождаются благоприятными возможностями для изучения математики, происходят поразительные события — и неважно, сколько лет ученикам.

Математические игры и приложения

Еще один способ предоставления ученикам возможностей для формирования вдумчивого, концептуального подхода к математике — применять игры и приложения, помогающие изучать дисциплину на концептуальном уровне. Подавляющее большинство математических игр и приложений бесполезны, поскольку ориентированы на выполнение однотипных заданий и запоминание. В данном разделе уделено особое внимание четырем приложениям, которые я считаю очень полезными: они позволяют ученикам заниматься концептуальной математикой с помощью визуальных инструментов. Я консультант трех из четырех компаний, разработавших эти игры и приложения (Wuzzit Trouble, Mathbreakers и Motion Math).

Wuzzit Trouble

Wuzzit Trouble (игра, которую разработали стэнфордский математик Кит Девлин и его команда) помогает ученикам исследовать важные математические концепции (сложение и вычитание, множители и кратные числа и т. п.) наряду с освоением гибкого подхода к работе с числами и стратегий решения задач. Цель игры — освободить маленькое существо из ловушки, повернув небольшую шестеренку, чтобы запустить колесо и собрать ключи. Уровень сложности повышается до действительно трудных головоломок. Есть разные версии этой игры, рассчитанные на определенные математические темы и уровни сложности.

Игра от компании BrainQuake работает на основе операционных систем iOS и Android; ее можно бесплатно загрузить с сайта http://wuzzittrouble.com.

Mathbreakers

Mathbreakers от Imaginary Number — видеоигра для учеников начальной школы, в которой персонажи передвигаются в игровой среде, вооружившись числами. Она не только позволяет ученикам играть с математикой, что само по себе очень важно, но и дает им возможность выполнять действия с числами — например, делить пополам, если игроку необходимо меньшее число, чтобы перейти мост. Это «бродилка» с участием чисел. Она знакомит учеников с числами на концептуальном уровне, в увлекательной открытой среде.

Mathbreakers работает на основе Mac, Windows и Linux (https://www.mathbreakers.com).

Number Rack

Number Rack от Math Learning Center — приложение для учеников начальной школы, которое моделирует обучающий инструмент под названием Rekenrek («Счеты»), разработанный в Институте Фройденталя в Голландии (http://www.k-5mathteachingresources.com/Rekenrek.html). Счеты Rekenrek — десять костяшек, нанизанных на стержень; чтобы получить числа больше десяти, можно добавить дополнительные стержни. В игре есть экран, которым можно прикрыть группы костяшек, чтобы ученики могли находить отсутствующее число в том или ином соотношении. Это удобный инструмент для счета и работы с десятью числами. Ученики могут передвигать костяшки и работать с числовыми парами и соотношениями на концептуальном уровне.

Number Rack есть в интернете в бесплатном доступе (http://www.mathlearningcenter.org/web-apps/number-rack).

Motion Math

Приложение Motion Math, выпускаемое одноименной компанией, ориентировано на учеников начальной школы. Это ряд игр, которые помогают детям развивать визуальное понимание важных математических концепций, в частности чисел и дробей. Например, в игре Hungry Fish ученики соединяют числа, чтобы покормить рыбу. Игрокам нужно находить разные способы создания чисел. В игре Pizza игроки управляют пиццерией, готовя и продавая еду. В ходе игры ученики осваивают пропорциональное мышление, ментальную математику и даже азы экономики. В игре Fractions ученики перемещают шарик с определенной дробью в соответствующее место на числовой прямой. Игра Cupcake позволяет ученикам управлять собственным бизнесом. Игрок принимает решения по поводу кексов, доставляет их на своем автомобиле и вносит математические коррективы в заказы.

Motion Math работает на основе iOS и Android (http://motionmathgames.com).

Есть и другие игры и приложения, помогающие ученикам развивать чувство числа. Они позволяют глубже понять смысл изучаемых математических концепций, а также помогают увидеть математические идеи.

Резюме

Результаты новых исследований головного мозга свидетельствуют, что разница между преуспевающими и отстающими учениками обусловлена скорее не тем, какой материал они изучают, а типом их мышления. Мышление роста крайне важно, но, чтобы дети добивались больших успехов в изучении математики, необходимо математическое мышление. Нужно привить ученикам установку на рост в отношении себя в сочетании с установкой на рост в отношении математики и их задач в изучении этого предмета. При концептуальном, исследовательском подходе к преподаванию математики, а также стимуляции мышления ученики научатся избавляться от пагубных представлений о том, что для изучения математики необходимы только скорость и память и что человек либо способен понять ее, либо нет. Такое изменение мышления — главное условие успеха и получения удовольствия от математики, и оно может произойти даже в зрелые годы. Данная глава сфокусирована на том, как оно происходит в ранние годы, особенно при изучении чисел, но сформулированные здесь идеи применимы ко всем уровням математики. Даже математические факты, один из самых скучных аспектов этой науки, можно объяснять ученикам на концептуальном уровне, добиваясь осмысления и понимания. Если описывать ученикам интересные ситуации и предлагать им наполнить эти ситуации смыслом, они будут иначе воспринимать математику — не как неизменную совокупность знаний, а как открытый мир, который можно исследовать, задавая вопросы и размышляя о взаимосвязях. В следующей главе представлен ряд лучших способов создания такой среды с помощью содержательных и увлекательных математических задач.

Учителя — самый важный ресурс для учеников. Именно учителя создают увлекательную среду для освоения математики, подают позитивные сигналы, в которых дети так нуждаются, и добиваются того, чтобы любая задача пробуждала интерес. Исследования свидетельствуют, что учитель оказывает на обучение учеников большее влияние, чем любой другой фактор (Darling-Hammond, 2000). Но есть еще один крайне важный аспект изучения математики (во многих смыслах это лучший друг учителя): программа, с которой работает учитель, а также задания и вопросы, с помощью которых ученики осваивают этот предмет. Все учителя знают, что интересные математические задачи — прекрасный ресурс. Именно они определяют разницу между счастливыми учениками, которые с воодушевлением изучают математику, и незаинтересованными, немотивированными. Задания и вопросы помогают развивать математическое мышление и создают условия для глубокого, связного восприятия изучаемого материала. В этой главе представлен подробный анализ истинной вовлеченности в изучение математики, а также рассматривается вопрос о том, как добиться ее путем постановки математических задач.