У пифагорова строя цепочка квинт не замыкается. Мы можем продолжать этот цикл, двигаясь вверх и вниз на квинту, и никогда не найдем полностью совпадающие верхнюю и нижнюю ноты. Например, от фа-диез мы переходим к до-диез, затем к соль-диез. Эти ноты на современном фортепиано совпадают с ре-бемоль и ля-бемоль соответственно. Но в пифагоровом строе они отличаются на пифагорейскую комму. Цикл оказывается спиралью (Рис. 3.13с).

На самом деле проблема не так уж серьезна, если вся музыка написана в ограниченном числе тональностей, а проблемные ноты оказываются за пределами имеющихся тональностей и едва ли когда-нибудь встретятся. В Древней Греции и средневековой Европе не существовало системы тональностей, подобной современной системе в западной музыке (читайте далее: Тональность и тоника). В то время музыкальная палитра варьировалась посредством использования различных ладов, которые мы с некоторой натяжкой можем считать гаммами с одинаковым набором нот, но с началом в разных местах. В Средние века греческая система ладов четко оформилась в серию семинотных «гамм», ноты которых по сути соответствовали белым клавишам фортепиано. Один лад (дорийский) начинался с ре, фригийский с ми и так далее (см. Лады). Таким образом, каждый отдельный лад обладал своей последовательностью высот в «звукоряде». Гиполидийский лад звучит как наша мажорная гамма, а дорийский очень похож на одну из минорных. Остальные звучат определенно «странно для современного уха, если послушать их как гаммы.

Так называемые знаки альтерации – высокий и низкий вариант ноты – изначально были добавлены в систему ладов ситуативно, начиная с си-бемоль, к которой вскоре присоединилась фа-диез. Фактически именно это дало начало процессу смещения корневой ноты или, как мы бы сказали сейчас, транспонированию тональности; в результате одну и ту же мелодию можно сыграть или спеть с разной первой ноты. Если вы сыграете восходящую последовательность белых клавиш до, ре, ми, фа, соль на пианино и затем сместите эту же последовательность на начало с фа, то она будет звучать по-другому, если играть белыми клавишами: фа, соль, ля, си, до. Неправильной будет четвертая нота си, потому что в изначальной последовательности использовались шаги тон-тон-полутон-тон, а в смещенной последовательности они располагаются тон-тон-тон-полутон. Чтобы сохранить мелодию, мы должны понизить си на полутон и превратить ее в си-бемоль (Рис. 3.14). Добавляя знаки альтерации в оригинальную гамму, мы к тому же делаем возможным музыкальный процесс модуляции, то есть плавного перехода из одной тональности в другую. Рождественский гимн «We Three Kings» («Мы – три царя»), например, переходит из тональности ми минор в куплете в соль мажор в припеве. Модуляция стала основным признаком западной музыки начиная со времен барокко. Она является ключевым элементом, например, организованной схемы сонаты, где вступительная тема или «сюжет» повторяется в разных (но связанных между собой) тональностях.

Транспонирование и модуляция продиктовали необходимость появления нового звукоряда. Если смещение происходит за один шаг (вверх или вниз) в цепочке квинт, то нужна только одна новая нота: мажорная гамма соль включает только одну ноту (фа-диез), которая не встречается в мажорной гамме до, как и фа мажор (си-бемоль). С этими дополнениями все ноты в пифагоровом строе гаммы соль и фа мажор имеют одинаковое соотношение высот тона, как соответствующи ноты в до мажор. Приспособиться довольно легко. Но к началу эпохи Возрождения композиторы принялись экспериментировать с новыми тональностями, а точнее – стали использовать больше знаков альтерации, так как концепция тональности в ее нынешнем виде находилась еще в зачаточном состоянии. К четырнадцатому веку некоторые из этих экспериментов с хроматизмом были, если смотреть с точки зрения современных стандартов, весьма свободными. Иногда музыканты ставили альтерации не в соответствии с жесткой нотацией гаммы, а «causa pulchritudinis» («ради красоты») – они просто считали, что так мелодия звучит лучше. Некоторые из альтераций превратились в устойчивые формулы, подчас их даже не включали в партитуру: ожидалось, что исполнителям известны правила или они способны самостоятельно повышать или понижать ноту в тех местах, где это уместно. В таких композициях, как мадригалы итальянского композитора Карло Джезуальдо (ок. 1560—1613), хроматизм был доведен до такой маньеристической крайности, что для современного слушателя его произведения звучат невероятно странно.

Рис. 3.14 Восходящая гамма с до (слева) меняет последовательность шагов высоты тона (тон/полутон) при перемещении (транспонировании) на начальную фа (в середине). Оригинальная последовательность восстанавливается, если понизить четвертую ноту (си) на полутон, превратив ее в си-бемоль (справа).

Новые ноты, рожденные транспонированием и хроматизмом, можно также последовательно добавить в репертуар посредством принципа Пифагора, по которому мы генерировали гаммы соль и фа выше. То есть мы можем продолжить цикл вверх с шагом в чистую квинту, чтобы получить больше диезов, и вниз с таким же шагом, чтобы получить бемоли. Транспонирование мажорной гаммы из соль в ре дает новую ноту: до-диез. Переход от ре к ля добавляет ноту соль диез и так далее (Рис. 3.15). И снова этому разрастанию нот не видно конца, ведь последовательность не замыкается, когда мы доходим до фа-диез и соль-бемоль, и каждая отдельная нота в одном звукоряде отличается по частоте от своего аналога в другом. Несоответствие сохраняется по мере того, как мы переходим в тональность до-диез, соль-диез и так далее.

Фактически это означает, что правильно настроить фортепиано по пифагорову строю невозможно. Если настраивать ноты на основании восходящего цикла квинт к фа-диез, то окажется, что некоторые из них звучат фальшиво, когда на инструменте исполняют произведение в одной из тональностей, полученной после транспонирования вниз: шаги между следующими друг за другом нотами будут не совсем правильными. Несовпадение возникнет не только между фа-диез и соль-бемоль – все диезы будут отличаться частотой от эквивалентных им бемолей. Таким образом транспонирование и модуляция устроили беспорядок с настройкой: чем дальше мы уходим от «корневой» тональности, тем хуже звучит музыка. Чтобы избежать этой проблемы, необходима система настройки, которая «закрывается», а не «открывается» при транспонировании; то есть чтобы фа-диез и соль-бемоль превратились в одну ноту.

Рис. 3.15 Каждое транспонирование гаммы вверх на чистую квинту добавляет одну новую ноту (выделена серым).

Первая альтернативная система настройки была рождена другим выявленным дефектом пифагоровой модели. Пифагорейцы видели подлинное «добро» в соседстве нот, частота которых определяется простым соотношением. В Средние века только октавы, квинты и кварты считались созвучиями благостной природы. Но в пятнадцатом веке музыка стала приобретать выраженные черты полифонии: появилась тенденция использовать несколько мелодичных голосов одновременно, что вызвало появление новых гармонических комбинаций нот. Более конкретно: интервалы терция (например, от до к ми) и секста (от до к ля) стали допустимы и считались достаточно благозвучными. Но пифагорова пропорция для терции (81/64) была уже сложной. Чтобы восстановить математическую консонансную простоту, эту пропорцию изменили до 80/64, что можно упростить до 5/4. Таким же образом секста из 27/16 изменилась до 25/15 или 5/3.