Несколько других примеров «циклической» настройки, которые были предложены с начала шестнадцатого века, ставили перед собой цель замкнуть цепь квинт и таким образом позволить модуляцию в любую тональность без появления фальшивых нот. В угоду этой цели чаще всего страдали квинты: интервалы получались разной длины, обычно короче на белых клавишах и длиннее на черных. Немецкий теоретик музыки Андреас Веркмейстер предложил подобные схемы в конце семнадцатого века, назвав их «wohl temperiert» («хорошо темперированные»). Продолжаются споры и о том, написал ли И. С. Бах «Хорошо темперированный клавир» – сборник прелюдий и фуг во всех двадцати четырех мажорных и минорных тональностях – для хорошей темперации или для равномерной темперации. Как бы то ни было, его произведение демонстрировало преимущество замкнутой системы настройки, которая позволяла композитору в равной мере пользоваться всеми тональностями. Лучшей рекламы нельзя было вообразить, но даже она не смогла обеспечить всеобщего принятия равномерной темперации вплоть до девятнадцатого века.

Задача до сих пор остается нерешенной: математически невозможно найти какой-либо строй, который можно модулировать в любую тональность с сохранением соотношения простой пропорции частот, таких как чистая квинта, кварта и октава. Ученый-акустик Уильям Сетарес предложил гениальное решение, которое пользуется произвольными способами настройки электронных инструментов. Он разработал алгоритм Adaptun, который позволяет электронной клавиатуре адаптировать свой строй в режиме реального времени нота за нотой, чтобы найти «идеальные» интервалы в любой момент музыки. Для использования алгоритма не нужно обладать знаниями о тональности музыки – программа просто находит наилучший вариант «частной настройки» для каждой комбинации нот. Вы можете прослушать результат работы Adaptun на сайте Сетареса и на CD http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/.

Очевидно, что попытки свести европейскую музыкальную гамму к чистой математике – и таким образом отыскать «натуральный» базис музыки – быстро привели к новым проблемам. Существует, однако, интересный способ построения гамм с точки зрения такого направления физики, как акустика. Как и «гармоничную пропорцию» Пифагора, ее столь же упорно и столь же опрометчиво приводили в качестве доказательства превосходства диатонической шкалы в течение нескольких сотен лет.

Тональность характеризуется двумя музыкальными структурами: гаммой и трезвучием, состоящим из нот 1,3 и 5: до-ми-соль в до мажор. В комбинации или пермутации эти три ноты звучат гармонично: они как будто «подходят» друг к другу.[13]

Трезвучие – настолько знакомый элемент музыкального аппарата, что легко можно забыть о его не вполне правильном сочетании с точки зрения пифагорова строя. По Пифагору самые «консонантные» интервалы состоят из нот с простым соотношением частот. Этому положению соответствует наличие соль – чистой квинты – в аккорде до мажор, а также тот факт, что с прибавлением октавы до’ можно получить большой мажорный аккорд: до-ми-соль-до’ (если удвоить начальную до, то получится начало фолк-стандарта «On Top of Old Smokey»). Но по системе Пифагора в аккорде должна появиться фа (с соотношением 4:3 к до), а не ми (с соотношением 81:64 в пифагоровом строе). Почему же в данном случае предпочтение было отдано терции, а не чистой кварте?

На этом моменте я вынужден признаться, что до сих пор скрывал от вас жизненно важную информацию. На это у меня была уважительная причина: эта информация невозможно усложнила бы построенную нами конструкцию из музыкальных нот и тонов с определенными частотами. Правда заключается в том, что вы никогда в жизни не слышали этих нот. Получить их очень тяжело и в принципе это стало возможно только с развитием электронного звукоизвлечения. Звуки, которые состоят из одной акустической частоты, не встречаются в естественной природе, как не существует ни одного традиционного музыкального инструмента, который мог бы их воспроизводить (хотя надо признать, что некоторые из них довольно близки к этому).

Если вы тронете гитарную струну, проведете смычком по струне скрипки, нажмете клавишу фортепиано или подуете во флейту или в трубу, вы создадите не только вибрацию воздуха на одной частоте. Резонирующая струна или корпус генерируют сложную комбинацию частот, каждая из которых является самой низкой частотой, умноженной на целое число. Например, колеблющаяся струна не только поддерживает волну с длиной волны, равной длине струны, но также колеблется на половину длины волны (на удвоенной частоте), на треть (утроенная частота), на четверть и так далее. Все, что нужно, – это чтобы целое число длины волн уместилось на длине струны (Рис. 3.17). Самая низкая частота называется основной. Она обычно самая громкая: большая часть акустической энергии звука направлена на звук этой высоты. Более высокие звуки называются обертонами или гармоническими призвуками (здесь легко запутаться: основная частота фактически является первым гармоническим призвуком, однако тон с удвоенной основной частотой называется первый обертон).

На самом деле инструмент производит десятки обертонов (Рис. 3.18), но не все легко обнаружить, так как они последовательно слабеют по мере возрастания их частоты. Вы можете обнаружить некоторые гармонические призвуки фортепианной клавиши, если сыграете ее с нажатой демпферной педалью, опускающей все другие струны, и послушаете, какие высокие струны вибрируют одновременно с ней. Ноты, представляющие собой комбинацию основной частоты и обертонов, называются сложными тонами. Точное сочетание обертонов – это один из факторов, определяющих характер звука или тембр инструмента. Серия звуков разной высоты в сложном тоне называется натуральным звукорядом (Рис. 3.19а).

Рис. 3.17 Гармонические призвуки: основная частота и обертоны с длиной волны, которая сокращается на факторы 1/2, 1/3, 1/4… Соответствующие частоты увеличиваются на фактор 2, 3, 4 …

Наличие обертонов означает, что каждая нота, сыгранная на музыкальном инструменте или спетая и услышанная нами, на самом деле представляет собой аккорд, пусть мы и слышим его не таким, какой он есть; наши уши и мозг сговорились совмещать все гармонические призвуки в один слышимый тон.

Это объясняет, почему две ноты на расстоянии в октаву звучат почти «одинаково». Первый обертон на октаву выше основной частоты, так как интервал в октаву происходит из-за удвоения частоты. Наш мозг создает ощущение похожести, возможно, в качестве эволюционного ответа на гармоническую сложность всех естественных звуков (не только звуков музыкальных инструментов), при этом первый обертон – удвоенная частота – обычно самый сильный. Мозг классифицирует первый обертон как звук с таким же «привкусом», что и основная частота, поэтому они легко могут смешаться в один воспринимаемый сигнал: необходимо некоторое усилие и практика, чтобы услышать «октавный» обертон, хотя мы замечает разницу в качестве звука, если его переместили. Это помогает нам интерпретировать две частоты как порождения одного источника, а не стремиться напрасно искать два разных источника звука.