достаточно посчитать, сколько плитки пойдет на одну сторону, а затем умножить это число на самого себя. Если сторону участка занимают 3 плитки, тогда 9 плиток составят всю площадь участка (3 х 3 = 9). Если сторона составлена из 5 плиток, то весь квадрат состоит из 25 плиток (5 х 5 = 25).

5 в квадрате означает 5 х 5. Мы записываем это как 5. Маленькая 2, записанная после 5, означает, что речь идет о перемножении двух пятерок. А что означает маленькая 3, записанная после 5? Она означает, что надо перемножить подряд три пятерки. Это общепринятое математическое обозначение, и каждому человеку положено его знать. Вот несколько примеров:

53 = 5 х 5 х 5

45 = 4 х 4 х 4 х 4 х 4

73 = 7 х 7 х 7

62 (произносится как «шесть в квадрате») = 36, потому что 6 х 6 = 36. Мы говорим, что 36 — это квадрат числа 6.

132 = 13 х 13 = 169

Мы легко можем вычислять подобные примеры, используя изученный выше метод перемножения чисел больше 10 и меньше 20. В частности, метод умножения с 100 использованием кружков особенно легко применять в отношении квадратов чисел, поскольку он лучше всего работает, когда перемножаемые числа являются близкими по значению. Добавлю, что все способы возведения в квадрат, представленные в настоящей главе, используют общий принцип перемножения чисел, рассмотренный нами ранее.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Метод возведения в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5, использует ту же формулу, что и общий метод перемножения, освоенный нами ранее.

Если нам необходимо найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, отделим прежде всего последнюю цифру 5 от находящейся перед ней цифры (или цифр). Прибавьте 1 к числу, состоящему из отделенной цифры (цифр), а затем перемножьте результат сложения и число. Припишите 25 справа к результату умножения, и вы получите окончательный ответ.

Например:

352 =

Отделим 5 от цифр впереди нее. В данном случае речь идет всего лишь о цифре 3, стоящей перед 5. Прибавим 1 к 3 и получим в результате 4.

3 + 1 = 4

Перемножим числа:

3 х 4 = 12

Припишем 25 (5 в квадрате) справа к 12. Полученное число и есть искомый ответ: 1225.

352 = 1225

Попробуем решить еще один пример:

752 (или 75 в квадрате) =

Отделим 7 от 5. Прибавим 1 к 7 и получим 8. 8 умножить на 8 равно 56. Это первая часть нашего ответа. Припишем 25 справа и получим искомый ответ: 5625.

752 = 5625

Сочетание этого метода с изученными ранее позволит получить еще более впечатляющие результаты. Рассмотрим это на примере:

1352 =

Отделим 5 от 13. Прибавим 1 к 13 и получим 14. Произведение 13 х 14 дает 182 (используем метод, изученный в главе 2). Припишем 25 справа к 182 и получим ответ: 18225. Все эти расчеты можно легко произвести в уме.

1352 = 18225

Еще один пример:

9652 =

96 плюс 1 дает 97. Умножим 96 на 97 и получим 9312. Теперь припишем 25 справа к результату и получим ответ: 931225.

9652 = 931225

Впечатляет, не так ли? Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 152 = __; б) 452 = __; в) 252 = __; г) 652 = __; д) 952 = __; е) 1152 = __; ж) 1452 = __; з) 9552 = __

Если вы использовали бумагу и ручку, чтобы вычислить ответы, попробуйте теперь повторить вычисления в уме. Вы обнаружите, что ничего сложного в этом нет.

Ответы:

а) 225; б) 2025; в) 625; г) 4225; д) 9025; е) 13225; ж) 21025; з) 912025

Данный метод применим также к числам с десятичной запятой. Например, в случае 6,5 х 6,5 мы просто «забываем» о запятой и находим ей место лишь в самом конце вычислений.

6,52 =

652 = 4225

В сумме у множителей в данном примере имеются две цифры после запятой, если квадрат записать в виде произведения двух одинаковых чисел, и в ответе после запятой также должно быть две цифры. Поэтому искомый ответ равен 42,25.

6,52 = 42,25

Тот же метод работает и для произведения 6,5 х 65, которое соответственно будет равно 422,5.

Подобным образом, если надо перемножить 31/2 и 31/2, это даст в ответе 121/4 (то есть 12,25).

Данный метод находит много применений.

Возведение в квадрат чисел, близких по значению к 50

Метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 50, использует ту же формулу, что и при перемножении любых чисел. Однако есть еще один способ, позволяющий значительно упростить вычисления.

Например:

46 в квадрате означает 46 х 46. Округляя, получаем 50 х 50 = 2500. Берем 50 и 2500 в качестве опорных чисел.

46 меньше, чем 50, поэтому рисуем кружок под примером.

46 на 4 меньше 50, поэтому вписываем 4 в кружок. Впереди ставим минус.

Отнимаем 4 из числа сотен в 2500.

25 — 4 = 21

Это число сотен в искомом ответе. Его можно записать как 2100 (21 х 100). Чтобы получить остальную часть ответа, возведем в квадрат число в кружке.

42 = 16

2100 + 16 = 2116 ОТВЕТ

Рассмотрим другой пример:

562 =

56 больше, чем 50, поэтому рисуем кружок над примером.

Прибавляем 6 к числу сотен в 2500 (25). 25 плюс 6 дает 31. Промежуточный ответ равен 3100.

62 = 36

3100 + 36 = 3136 ОТВЕТ

Попробуем решить еще один пример:

25 + 12 = 37 (промежуточный ответ равен 3700)

122 = 144

3700 + 144 = 3844 ОТВЕТ

Попробуйте решить самостоятельно следующие примеры:

а) 572 = __; б) 51 2 = __; в) 482 = __; г) 392 = __; д) 452 = __

Ответы:

а) 3249; б) 2601; в) 2304; г) 1521; д) 2025.

Немного попрактиковавшись, вы вскоре будете в состоянии незамедлительно называть ответ.

Возведение в квадрат чисел, близких по значению к 500

Метод напоминает