1202 = 14400 (12 х 12 х 10 х 10)

120 + 119 = 239

14400 — 239 = 14161

14400 — 240 + 1 = 14161 ОТВЕТ

Возьмем другой пример:

3492 =

3502 = 122500 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

350 + 349 = 699

(Вычтем 1000, а потом прибавим 301, чтобы вычислить ответ.)

122500 — 699 = 121801 ОТВЕТ

А как нам вычислить 84 в квадрате?

Можно использовать способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 9 или 4. Будем рассматривать 84 как число, которое на 1 меньше 85.

842 =

852 = 7225

85 + 84 = 169

Теперь вычтем 169 из 7225:

7225 — 169 = 7056 ОТВЕТ

(Вычитаем 200, а затем прибавляем 31, чтобы получить ответ.)

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 692 = __; б) 792 = __; в) 892 = __; г) 742 = __

Ответы:

а) 4761; б) 6241; в) 7921; г) 5476

Решим пример б) вместе. Чтобы найти квадрат 79 в уме, я сказал бы про себя: «Восемьдесят в квадрате дает шестьдесят четыре сотни. Дважды восемьдесят — сто шестьдесят. Шестьдесят четыре сотни минус двести равно шестьдесят две сотни, плюс сорок — шестьдесят две сотни сорок, плюс один — шестьдесят две сотни сорок один (6241)».

Разумеется, проговаривать всего этого не требуется. Можно просто сказать: «Шестьдесят четыре сотни, шестьдесят две сорок. один».

В примере в), возможно, легче было бы использовать общий метод перемножения чисел с опорным числом: используя 100 в качестве опорного и перемножая просто 89 и 89.

Вы можете выбрать для себя наиболее легкий метод и успешно его применять.

Упражняйтесь в решении подобных примеров в уме, и со временем вы будете делать это легко.

Глава 11

Деление на однозначное число

Если вы чувствуете себя уверенно с данным видом деления, тогда можете смело пропустить эту главу. Однако у многих людей бывают проблемы с решением даже простых задач на деление.

Если вам надо разделить 32 доллара на четырех человек, вы разделите 32 на 4, чтобы узнать, сколько долларов получить каждый. Поскольку 4 на 8 равно 32 (4 х 8 = 32), каждый человек должен получить 8 долларов. Это простая задача на деление. Если бы вам пришлось делить 32 доллара на восемь человек, тогда каждый получил бы по 4 доллара.

Если нам нужно раздать 35 книг четырем студентам, то каждый из них получил бы по восемь книг, и осталось бы еще три. Мы называем их остатком. Вычисление можно было бы записать так:

или

А вот как мы стали бы делить большее по величине число. Чтобы разделить 4921 на 4, запишем задачу следующим образом:

Начинаем решать с левой цифры числа, которое мы делим (делимое). 4 — это первая цифра слева. Начинаем с вопроса: на что нужно умножить 4, чтобы получить в ответе 4? Ответом будет 1, поскольку 1 х 4 = 4. Запишем 1 под цифрой 4. 4 делится на 4 без остатка, так что переносить ничего не придется.

Теперь переходим к следующей цифре: 9. На что нужно умножить 4, чтобы получить 9? Нет целого числа, которое даст 9 после умножения на 4. Теперь спросим себя, какое число надо умножить на 4, чтобы получить число меньше 9? 2, умноженное на 4, дает 8, которое меньше 9 и одновременно ближе всех других чисел к 9. Записываем 2 под цифрой 9, а остаток 1 переносим в следующий разряд и указываем перед следующей за 9 цифрой в виде маленькой 1 вверху.

Теперь делим 12 на 4. Какое число после умножения на 4 дает 12? Ответом является 3 (3 х 4 = 12). Записываем 3 под цифрой 2. Следующая цифра меньше, чем 4, поэтому деление не может быть выполнено. Иными словами, 1 при делении на 4 дает 0 и в остатке 1.

или:

Остаток 1 может быть выражен через дробь: 1/4. Таким образом, ответом будет 12301/4, или 1230,25.

Использование кружков

Так же как нашу генеральную формулу можно с успехом применять для решения задач на умножение, ее можно использовать и для вычисления примеров на деление. Метод лучше всего работает в случае деления на 7, 8 и 9. Возьмем простой пример:

Метод работает так. Мы делим 56 на 8. Решение записываем либо способом, представленным выше, либо (если предпочтительнее) тем, который показан ниже. Пользуйтесь тем способом, который вам удобнее.

Я буду объяснять, пользуясь первым способом. Рисуем кружок под 8 (числом, на которое мы делим, то есть делителем) и спрашиваем себя, сколько не хватает до 10. Ответом является 2, поэтому вписываем 2 в кружок под 8. Прибавляем 2 к цифре в разряде десятков числа, которое мы делим (5 — это цифра из разряда десятков в числе 56), и получаем в ответе 7. Записываем 7 под цифрой 6 в числе 56. Рисуем кружок под 7. Сколько не хватает до 10? В данном случае — 3, поэтому вписываем 3 в кружок под 7. Теперь перемножаем числа в кружках.

2 х 3 = 6

Вычтем 6 из цифры в разряде единиц в числе 56, чтобы получить остаток.

6 – 6 = 0

Остаток нулевой.

Ответ: 7 без остатка.

Рассмотрим другой пример:

9 меньше 10 на 1, поэтому записываем 1 в кружке под делителем 9. Прибавим 1 к цифре десятков (6) и получим 7. Запишем 7 как целую часть ответа под цифрой 5. Рисуем кружок под 7. Сколько не хватает до 10? 3. Вписываем 3 в кружок под 7. Перемножим числа в кружках: 1 х 3 = 3. Отнимем 3 от цифры единиц (5) и получим остаток: 2. Ответ: 7 с остатком 2.

А вот еще один пример, который объясняет, что нам делать, когда целая часть оказывается слишком большой.

8 меньше