Не все соглашались с идеей Аристотеля. Так, в I веке римский философ и поэт Лукреций в своей учебной поэме De rerum natura («О природе вещей») провозгласил, что Вселенная бесконечна. В противном случае, отмечал он, у нее была бы граница, и если мы бросим камень с силой, достаточной, чтобы он пролетел через нее, то камень будет существовать уже вне Вселенной. А это невозможно, так как ничто не существует за ее пределами по определению. Сегодня мы знаем, что аргументация Лукреция ошибочна и Вселенная может быть конечной, не имея при этом границы, как поверхность шара — конечная, но без предела. Согласно современным космологическим теориям, вполне вероятно, что Вселенная конечна. Тем не менее возражения Аристотелю были редки, и, как уже было сказано, его идеи господствовали в философии и математике примерно до 1870 года. Тогда русско-немецкий математик Георг Кантор, как он сам признавал, фактически против воли следуя логике собственных исследований, ввел в математику изучение актуальной бесконечности. Задача была непростой, не столько из-за сложности, сколько из-за резкого неприятия ее многими коллегами. Речь шла о нарушении тысячелетней традиции. Ученого даже называли «шарлатаном» и «развратителем молодежи».

Однако Кантора это не остановило: он был убежден в вероятности и даже необходимости создания математической теории бесконечности. Благодаря своей непреклонной логике он развил одну из самых удивительных на сегодняшний день теорий и использовал новый подход к математике — более свободный и дающий множество возможностей. Одной из самых оригинальных концепций Кантора стали ординалы — числа, позволяющие вести исчисление за пределами бесконечности. После бесконечного ряда чисел 0, 1,2, 3, 4, 5,..., по утверждению Кантора, следует трансфинитное (то есть ординальное) число ω. Затем идут ω + 1, ω + 2, ω + 3,..., а после этого ряда ω + ω + 1, ω + ω + 2,... и так далее.

Но правильно ли «изобретать» эти числа таким произвольным способом? Что обозначает число ω? До XIX века все понятия, которыми оперировали математики, были тесно связаны с более или менее конкретными задачами, с ситуациями, представляемыми или связанными с реальностью. Например, описание физических явлений, изучение свойств геометрических объектов или конечных рядов чисел (1, 2, 3, 4,...). Так, 0, обозначающий «количество, которого нет», не сразу был признан полноценным числом, на это ушло несколько столетий. То же самое и с отрицательными числами: еще в XVIII веке Лейбниц не считал их существующими. В целом числа признавались, только если они так или иначе обозначали некое количество, которое можно зрительно представить.

Число ω обозначает актуально бесконечное количество; ни один предмет, ни одно физическое явление не поможет представить его, оно есть только в нашем сознании. Тем не менее Кантор со своими строго логическими рассуждениями «заставил» нас принять его за существующее, для чего ученому пришлось изменить подход к математике. Сегодня к математическим концепциям больше не предъявляются требования соответствовать реальности или представлять конкретное явление. Они только должны быть логически последовательными. За исключением этого ограничения, математики абсолютно вольны создавать, исследовать, анализировать, играть с понятиями, идеями и теориями.

После Кантора сущность математики изменилась, и он с большим удовлетворением принял бы нынешнее положение вещей — когда ученые могут свободно выдвигать теории и концепции. Ведь он утверждал, что чистая математика должна называться свободной. Говоря его словами, «сущность математики — в ее свободе».

1845 3 марта в Санкт-Петербурге у Георга Вальдемара Кантора и Марии Анны Бойм рождается сын Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор.

1856 Семья переезжает в Германию.

1862 Георг хочет изучать математику, но отец противится желанию сына, и юноша поступает на инженерный факультет Высшей технической школы в Цюрихе. Несколько месяцев спустя отец все-таки разрешает ему заниматься математикой в том же учебном заведении.

1863 Умирает отец Кантора. Семья переезжает в Берлин, где юный Георг завершает свое математическое образование.

1867 Получает докторскую степень в Берлинском университете.

1869 Кантор поступает на работу в Галльский университет.

1872 Знакомится с Рихардом Дедекиндом. Многие идеи о бесконечности будут впервые высказаны Кантором в письмах Дедекинду.

1874 Кантор женится на Валли Гутман; у них будет шестеро детей. В том же году он публикует статью Ober eine Eigenschaft des Inbegriffes alter reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»), в которой впервые появляются его идеи о бесконечности, хотя по совету Карла Вейерштрасса он и завуалировал их.

1878 Кантор публикует Ein Beitrag zur Мапnigfaltigkeitslehre (4К учению о многообразиях»), где открыто излагает свои идеи о бесконечности. Леопольд Кронекер использует все свое влияние, чтобы воспрепятствовать изданию статьи.

1883 Выходит в свет работа Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (4 Основы общего учения о многообразиях»), апогей математического творчества Кантора.

1884 В мае у Кантора случается приступ депрессии. Он полностью оставляет занятия математикой более чем на пять лет.

1890 Создается Deutsche MathematikerVereinigung (4Немецкое математическое общество»), и Кантор становится его первым президентом.

1892 Кантор публикует работу Ober eine elemental Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях»), в которой представлен его знаменитый диагональный метод.

1895 Выходит в свет первая часть Beitrage zur Begmndung der transfi niten Mengenlehre («К обоснованию учения о трансфинитных множествах»), вторая часть будет опубликована в 1897 году.

1899 16 декабря умирает 13-летний сын Кантора. У ученого начинается душевное расстройство, от которого он так и не оправится до конца жизни.

1918 6 января Кантор умирает в психиатрической лечебнице в Галле.

Есть вопросы, которыми человечество задается с тех самых пор, когда первые мужчины и женщины усаживались у огня и принимались размышлять и изучать то, что их окружало. Существовал ли мир всегда или у него было начало? Он перестанет существовать когда-нибудь? Есть ли предел у неба или оно не имеет преград?

В основе всех этих вопросов лежит одно из самых невероятных и глубоких понятий — бесконечность.

Почти все области математики являются результатом долгих исторических процессов, десятки или сотни лет они развивались благодаря множеству ученых, и трудно, если не невозможно, однозначно указать на одного зачинателя. Так, корни геометрии и алгебры уходят в Древний Египет и Месопотамию, а более «молодые» разделы науки, например методы счисления, выведены в конце XVII века одновременно и независимо друг от друга англичанином Исааком Ньютоном и немцем Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем. Правда, они выразили идеи, которые их предшественники изучали веками (мы подробнее рассмотрим это в главе 3).