Немногие народы считают двойками, как бакайри и бороро. Старая волчья кость несет на себе более типичную древнюю систему счета. Кость имеет пятьдесят пять маленьких насечек, объединенных в группы по пять; после первых двадцати пяти отметок имеется еще одна насечка. Очень похоже на то, что наш первобытный человек считал пятерками, а потом сгруппировал пятерки по пять. В этом есть здравый смысл. Гораздо быстрее подсчитывать значки, объединенные в группы, чем пересчитывать их по одному. Современные математики сказали бы, что резчик по волчьей кости использовал основанную на цифре 5, или пятеричную, систему счета.

Но почему именно на цифре 5? В конце концов это произвольное решение. Если бы первобытный человек объединил значки в группы по четыре и считал более крупными единицами, равными 16, или в группы по шесть и равными 36, его система счета работала бы также хорошо. Группировка не влияет на число насечек на кости, она отражается только на том, как резчик их объединил. Окончательный ответ был бы получен один и тот же, как бы ни считать значки. Однако наш первобытный человек предпочел считать группами по пять, а не по четыре, и такое предпочтение разделяли люди по всему миру. Природа случайно дала человеку по пять пальцев на каждой руке, и из-за этой случайности пятерка оказалась излюбленной основой системы счета во многих культурах. Древние греки, например, использовали термин «пятерение» для описания процесса подсчета.

Даже в южноамериканских двоичных системах счета лингвисты усматривают начала пятеричной системы. Другое название на языке бороро для числа «два и два и один» — «это моя рука целиком». Ясно, что древние люди предпочитали считать, используя части своего тела, и «пять» (одна рука), «десять» (две руки) и «двадцать» (обе руки и обе ноги) были для этого излюбленными объектами. Английские слова eleven и twelve произошли, вероятно, от one over (ten) и two over (ten), «один сверх (десяти)» и «два сверх (десяти)», как, по-видимому, и русские «одиннадцать» и «двенадцать» произошли от «один над десятью» и «два над десятью». Английские «тринадцать», «четырнадцать», «пятнадцать» и так далее, скорее всего, сокращения фраз «три и десять», «четыре и десять», «пять и десять». Исходя из этого, лингвисты заключают, что «десять» являлось базовой единицей в германских праязыках, от которых произошел английский, поэтому люди использовали основанную на десятке числовую систему. С другой стороны, по-французски «восемьдесят» — это quatre-vingts, то есть «четыре двадцатки», а «девяносто» — quatre-vingt-dix («четыре двадцатки и десять»). Может показаться, что люди, жившие там, где теперь расположена Франция, использовали как основу число 20 — это была двадцатеричная система. Такие числа, как 7 и 31, принадлежат ко всем системам — и пятеричной, и десятеричной, и двадцатеричной. Однако ни одна из них не имела названия для ноля. Такого понятия просто не существовало.

Ведь нет нужды пасти ноль овец или пересчитывать ноль цыплят. Вместо того чтобы сказать: «У нас ноль бананов», торговец скажет: «У нас нет бананов». Не требуется цифры для обозначения отсутствия чего-нибудь, так что никому и не приходило в голову придумывать для нее обозначение. Поэтому люди так долго и обходились без ноля. Он просто не был нужен, а потому не возникал.

На самом деле знание о числах вообще было большим достижением в доисторические времена. Простая способность считать рассматривалась как столь же мистический и сверхъестественный талант, как наложение заклятий или знание имен богов. В египетской «Книге мертвых» говорится, что когда душу умершего расспрашивает Акен, перевозчик, переправляющий души умерших через реку в потусторонний мир, он отказывается брать в свою лодку того, «кто не знает числа своих пальцев». Душа должна пересчитать пальцы, чтобы удовлетворить перевозчика. (А вот греческий перевозчик в царство мертвых хотел получить плату, поэтому под язык мертвому человеку клали монету.)

Хотя умение считать в древнем мире было редкостью, числа и основные правила счета всегда возникали раньше письменности. Когда у ранних цивилизаций появлялась потребность делать на глиняных табличках оттиски тростинкой, высекать знаки на камне или наносить их чернилами на пергамент или папирус, система чисел бывала уже хорошо развитой. Трансформация устной системы счета в письменную была делом простым: людям нужно было только изобрести метод кодирования, чтобы писцы могли сохранять числа в более долговечной форме. (Некоторые общества даже придумали, как это делать, до того, как научились писать. Неграмотные инки, например, использовали «кипу» — связки разноцветных веревочек с узлами, чтобы сохранять результаты подсчетов.)

Первые писцы записывали числа так, как это соответствовало их системе счета, и делали это как можно более точно. Со времен первобытных людей общество развилось; вместо того, чтобы снова и снова наносить группы насечек на кость, писцы изобрели символы для каждого типа групп. При пятеричной системе писец мог одним значком обозначить единицу, другим значком — группу из пяти единиц, третьим — число 25 (пять групп по пять) и так далее.

Именно так поступили египтяне. Более пяти тысяч лет назад, еще до эры пирамид, древние жители Египта придумали систему изображений для своей десятеричной системы, где каждая цифра изображалась рисунком. Одна вертикальная черточка означала единицу, изображение пяточной кости — десять, изогнутый силок — сто, и так далее. Чтобы записать число по такой схеме, писцу нужно было только изобразить группы этих символов. Вместо того чтобы наносить 123 насечки для изображения числа 123, достаточно было изобразить шесть символов: один силок, две пятки и три вертикальных черточки. Таков был типичный способ математических записей в античности. Как и большинство других цивилизаций, Египет не обладал нолем и не нуждался в нем.

Однако древние египтяне были весьма искусными математиками. Они умело вели астрономические наблюдения и следили за временем, а это означало, что им была нужна развитая математика — из-за переменчивой природы календаря.

Создание надежного календаря было проблемой для большинства древних цивилизаций, потому что они обычно начинали с календаря лунного: длительность месяца определялась как промежуток между двумя полнолуниями. Это был естественный выбор: убывание и рост луны на небе трудно не заметить, и это дает удобный способ отмечать периодически повторяющиеся циклы. Однако длительность лунного месяца — между двадцатью девятью и тридцатью днями. Как бы вы их ни располагали, двенадцать лунных месяцев дают 354 дня — примерно на одиннадцать меньше, чем длится солнечный год. Тринадцать лунных месяцев дают девятнадцать лишних дней. Поскольку именно солнечный, а не лунный год определяет время сева и жатвы, сезоны смещаются, если пользоваться неуточненным лунным годом.

Корректировка лунного календаря — дело сложное. Некоторые современные страны, такие как Израиль и Саудовская Аравия, все еще пользуются модифицированным лунным календарем, но шесть тысяч лет назад египтяне пришли к лучшему решению. Они нашли более простой способ и создали календарь, верно указывавший сезоны на протяжении многих лет. Вместо того чтобы следить за течением времени, наблюдая за луной, они использовали солнце, как это делает большинство современных народов.