потому что, подобно лучшим примерам из литературы, спустя тысячи лет продолжают вызывать чувство глубочайшего удовлетворения у тысяч людей. То были главным образом чистые математики (хотя в те времена различие не было таким резким), однако я говорю не только о теоретиках. К «настоящим» математикам я также отношу Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона[92] и Дирака. Величайшие современные достижения прикладной математики произошли в теории относительности и квантовой механике – дисциплинах, которые (по крайней мере, в настоящее время) настолько же «бесполезны», как и теория чисел. Зато скучные, тривиальные разделы прикладной математики, равно как и скучные и тривиальные разделы чистой математики, вовсю используются во благо или во вред. Возможно, со временем это изменится. Никто не предполагал, что теории матриц и групп из фундаментальной математики найдут применение в современной физике, и может случиться, что и прикладная математика «знатоков» неожиданно окажется полезной. Однако факты свидетельствуют о том, что пока практическое применение находит в жизни именно самое скучное и обыденное из обоих направлений.

Помню, Эддингтон привел очень удачный пример неприглядности «полезной» науки. Британская ассоциация проводила заседание в Лидсе, и кто-то решил, что ее членам будет интересно послушать о применении науки в шерстеобрабатывающей промышленности. Увы, организованные с этой целью лекции и демонстрации с треском провалились. Выяснилось, что члены Ассоциации (как жители Лидса, так и нет) хотели развлечься, а обработка шерсти мало кого занимала. Поэтому на те лекции никто не пришел. Зато лекции о раскопках на Кноссе, по теории относительности или теории простых чисел вызвали восторженные отзывы у собиравшейся на них немалой аудитории.

26

В каких разделах математики есть польза?

Прежде всего в школьной программе по арифметике, элементарной алгебре, элементарной евклидовой геометрии, началам дифференциальных и интегральных исчислений. Из этого списка следует исключить то, чему учат «специалистов», например, проективную геометрию. В прикладной математике полезны элементы механики (электричество, как его преподают в школах, следует отнести к физике).

Также полезна и значительная часть университетской программы – та, что развивает и оттачивает школьные знания по математике, а также несколько разделов, относящиеся к физике, такие как электричество и гидромеханика. Нельзя забывать, что запас знаний – безусловное преимущество и что даже самый практичный из математиков далеко не продвинется, если ограничится лишь минимумом необходимых ему знаний. Поэтому по каждой теме следует знать несколько больше. И все же наше общее заключение таково: эти разделы математики полезны настолько, насколько востребованы квалифицированным инженером или посредственным физиком; а это равносильно утверждению, что такая математика не обладает никакой эстетической ценностью. Евклидова геометрия, к примеру, настолько же полезна, насколько и скучна – нам неинтересны аксиома параллельности, или свойства пропорций, или построение правильного пятиугольника.

Из этого можно сделать любопытное заключение: чистая математика в целом гораздо полезнее прикладной. Математик-теоретик имеет преимущество как в практическом, так и в эстетическом плане. Ведь полезнее всего – методология, а методологии обучаются главным образом через фундаментальную, чистую математику.

Надеюсь, никто не подумал, что я пытаюсь умалить значение математической физики. Эта замечательная наука решает сложнейшие задачи, которые бросают вызов даже самому буйному воображению. Однако разве участь прикладного математика в каком-то смысле не печальна? Для того чтобы быть полезным, ему приходится заниматься занудной, монотонной работой, где он не может дать волю воображению, даже если захочет подняться к высотам науки. «Придуманные» вселенные невыразимо прекраснее примитивно устроенных «реальных», однако прикладной математик вынужден отказываться от самых изысканных плодов своего воображения на том тупом, но достаточном основании, что они не соответствуют действительности.

Итак, общий вывод, я думаю, ясен. Если под полезным знанием, как мы временно договорились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в обозримом будущем поспособствует материальным удобствам человека, без учета его сугубо интеллектуальных потребностей, то значительная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика – ни одно из этих направлений по данному критерию не проходит, стало быть, на этом основании жизнь настоящего математика оправдать нельзя. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риманн и Пуанкаре[93] прожили жизнь напрасно; их вклад в повышение человеческого счастья и комфорта ничтожно мал, и мир прекрасно обошелся бы и без них.

27

Возможно, мне возразят, что я истолковываю «полезность» слишком узко, ограничиваясь понятиями «счастья» и «комфорта» и не учитывая общее «социальное» значение математики, на котором в последнее время заостряют внимание многие авторы с разной степенью приязни к предмету. Так, Уайтхед (в прошлом математик) пишет о «колоссальном влиянии математической науки на жизнь и повседневную деятельность человека, на устройство целого общества»; а Хогбен (который недолюбливает то, что я и другие математики называем математикой и чему Уайтхед симпатизирует) заявляет, что «без математики – азбуки величин и порядка – мы никогда не построим рациональное общество, в котором каждый сможет позволить себе досуг и жить безбедно». И все в таком духе.

Подобное красноречие, на мой взгляд, не особенно утешает математиков. Оба автора позволяют себе чудовищные преувеличения, не замечая при этом совершенно очевидных различий. В случае Хогбена это вполне закономерно, поскольку он не математик и под «математикой» подразумевает лишь то, что знает сам, а именно школьную математику. Такая математика действительно имеет множество применений, которые, если угодно, можно назвать «социально полезными» и которые Хогбен подкрепил довольно интересными примерами из истории математических открытий. В этом отношении его книга заслуживает внимания: он открыл глаза множеству далеких от математики читателей на ее достоинства, о которых те просто не ведали. Автор не только не понимает «настоящую» математику (что очевидно любому, кто прочтет написанное им о теореме Пифагора, Евклиде или Эйнштейне), но и не питает к ней теплых чувств (что он всячески демонстрирует). «Настоящая» математика вызывает у него лишь снисходительную жалость.

Что же касается Уайтхеда, проблема не в недостатке понимания или теплых чувств по отношению к математике. Просто в своем энтузиазме он забывает о важном и хорошо знакомом ему отличии. «Колоссальное влияние» на «повседневную деятельность человека» и «устройство общества» оказывает математика не Уайтхеда, а Хогбена. Та математика, которая используется «обычными людьми для обыденных целей», совсем не значительна, а та, которой пользуются экономисты или социологи, едва ли выходит за рамки «академического стандарта». Математика Уайтхеда, напротив, способна глубоко повлиять на астрономию и физику, вполне ощутимо сказаться на философии – глубокомыслие одного рода всегда с большей вероятностью влияет на глубокомыслие другого, – однако во всех прочих областях ее воздействие ничтожно мало. «Колоссальное влияние» математика оказывает не на людей вообще, а только на