качества, а потому, что они такие, какие есть. Так и в математике: свойство, общее для множества объектов, едва ли кого-то взволнует, и математическая идея блекнет, если ей недостает индивидуальности. По крайней мере в этом Уайтхед со мной уж точно согласен: «Идея становится плодотворной благодаря некой удачной особенности, которая ограничивает ее в остальном общий характер»[85].

17

Вторым качеством, которым непременно должна обладать значимая идея, я назвал глубину, и в этом случае определение дать еще труднее. Понятие глубины в некотором роде сопоставимо с понятием сложности; как правило, чем «глубже» идея, тем сложнее ее постичь. И все же это не одно и то же. Идеи, заложенные в теореме Пифагора и ее следствиях, безусловно глубоки, хотя ни один математик не назвал бы их сложными. С другой стороны, довольно поверхностную по сути теорему бывает трудно доказать (как в случае многих «Диофантовых»[86] уравнений с целыми числами).

Такое впечатление, что все идеи в математике расположены как бы слоями, причем идеи каждого слоя связаны комплексом отношений не только между собой, но и с теми, что находятся над и под ними. Чем ниже слой, тем глубже (и чаще всего сложнее) идея. Так, концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.

Теперь давайте присмотримся повнимательнее к отношениям между целыми числами или объектами любой другой группы внутри конкретного слоя. Бывает, какое-то из этих отношений понять нетрудно; мы можем доказать некое очевидное свойство целых чисел без знания того, что находится слоем ниже. Например, теорему Евклида мы доказали, принимая во внимание лишь свойства целых чисел. Вместе с тем существует немало других теорем о целых числах, которые невозможно оценить по достоинству, а уж тем более доказать без понимания того, что происходит под ними.

За примерами далеко ходить не надо. Та же теорема Евклида, несмотря на всю ее важность, глубиной не отличается: для доказательства того, что простых чисел бесконечно много, можно вполне обойтись одним лишь понятием «кратности». Однако понимание того, что простых чисел бесконечно много, сразу же вызывает массу новых вопросов, например, как эти числа распределены? Если взять большое число N, скажем 1080 или (1010)10[87], то сколько найдется простых чисел меньше N?[88] Как только дело доходит до подобных вопросов, мы оказываемся в щекотливом положении. На них можно получить поразительно точный ответ, лишь копнув значительно глубже, оставив на время мир целых чисел высоко над нами и воспользовавшись мощнейшим оружием современной теории функций. Таким образом теорема, способная ответить на наши вопросы (так называемая «Теорема о распределении простых чисел»), куда глубже теорем Евклида или того же Пифагора.

Я мог бы привести массу других примеров, но так и не приблизиться к определению «глубины» – понятию, неуловимому даже для математика, способного его распознать. Так что для остальных читателей я и подавно вряд ли смогу добавить что-либо полезное.

18

Нам осталось обсудить один момент из главы 11, где я сравнил «настоящую математику» с шахматами. Теперь, я полагаю, все согласны с тем, что настоящая математическая теорема бесспорно превосходит шахматы по содержательности, серьезности и значимости. Для тренированного интеллекта так же очевидно ее преимущество в красоте, хотя объяснить или обнаружить его куда сложнее, поскольку главный недостаток шахматной задачи – ее «несущественность», и разительный контраст в этом смысле затмевает любое чисто эстетическое суждение. И все же какие «чисто эстетические» качества можно отметить в теоремах Евклида и Пифагора? По этому поводу я позволю себе разве что пару разрозненных соображений.

Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень непредсказуемости в сочетании с непреложностью и экономностью. Доводы поражают своей неожиданностью, применяемые методы кажутся по-детски простыми по сравнению с далекоидущими последствиями; при этом выводы неопровержимы. В рассуждениях нет нагромождения подробностей – каждая строчка бьет в цель. То же характерно и для доказательств многих куда более сложных теорем, истинная ценность которых понятна только тем, кто в совершенстве разбирается в предмете. В доказательстве математической теоремы не должно быть «разнообразия»; «перечисление всевозможных случаев» – поистине скучнейший способ доказать что-либо в математике. Доказательство должно походить на четкое и яркое созвездие, а не на размытое скопление звезд Млечного Пути.

Шахматные партии тоже бывают неожиданными и экономичными; непредсказуемость ходов и роль каждой фигуры на доске чрезвычайно важны. Тем не менее эстетическая сторона проявляется в них постепенно. Также важно (если, конечно, задача не слишком заурядная), чтобы ключевой ход допускал несколько ответных ходов, каждый со своим уникальным исходом. «Если белая пешка двигается на B5, то черный конь встает на F6; если… то…; а если… тогда…» – без множества вариантов не было бы такого эффекта. Это чистая математика со своими достоинствами, хотя в шахматах все сводится к тому самому «перечислению случаев» (причем не сильно отличающихся друг от друга по сути[89]), к которому настоящий математик относится скорее с пренебрежением.

Думаю, я мог бы усилить свои доводы, апеллируя к чувствам самих шахматистов. Великие гроссмейстеры, участники выдающихся партий и матчей, в глубине души не признают чисто математического подхода к шахматным задачам. У подлинного мастера в резерве немало комбинаций, к которым он может прибегнуть в экстренных случаях: «если мой оппонент сделает такой-то ход, я могу свести партию к такой-то выигрышной комбинации». Но «выдающаяся партия» – это прежде всего психологический поединок, конфликт между двумя тренированными интеллектами, а не просто набор кратких математических выкладок.

19

Здесь я должен вернуться к своей оксфордской апологии и рассмотреть подробнее отложенные вопросы из шестой главы. Как вы уже поняли, в математике меня привлекает исключительно ее творческая составляющая. Но это не значит, что не стоит рассмотреть и другие аспекты, в частности «полезность» (или бесполезность) математики, по поводу которой возникает столько разногласий. Кроме того, не мешает обсудить и «безвредность» математики, о чем я так уверенно заявлял в своей оксфордской лекции.

Искусство и наука считаются «полезными», если их развитие ведет (хотя бы косвенно) к увеличению материального благосостояния и комфорта, то есть если они делают людей «счастливее» в примитивном и общеупотребительном понимании слова. Например, медицина и психология полезны, потому что облегчают страдания, а работа инженеров полезна, потому что помогает строить дома и мосты, повышая таким образом наш уровень жизни (о том, что инженерное дело также наносит немало вреда, пока речи нет). В этом смысле какая-то часть математики несомненно полезна: без солидных математических знаний