есть ли жизнь на Марсе. А вот два простых примера нерешимой проблемы: указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число.

К числу нерешённых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но понять формулировки абсолютного большинства из них может лишь тот, кто получил специальное образование. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, четыре обсуждаемые ниже проблемы теории чисел: две проблемы совершенных чисел и две – чисел простых. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются в данной главе под словом «число». Желание сделать текст понятным как можно более широкому кругу читателей побуждает нас для начала напомнить некоторые определения и факты, каковые теоретически должны быть известны из курса средней школы.

Напоминание: делимость, чётность и простота

Некоторые числа нацело делятся на другие. Предлагаем читателю дать по возможности строгую, недвусмысленную формулировку того, чтó это значит – число a делится на число b. Математик ответит так: говорят, что (вариант: по определению) число a делится на число b, если (вариант: коль скоро) существует такое число s, которое в произведении с числом b даёт число a:

a = b · s.

Например, 48 делится на 1, 2, 3, 16, 48 и ряд других чисел. Всякое число делится на единицу и на само себя (почему?). Выражение «a делится на b» имеет тот же смысл, что и «b является делителем числа a»; так что 1, 2, 3, 16, 48 и некоторые другие числа являются делителями числа 48. Ясно, что делитель не может быть больше того числа, делителем которого он является. Если a делится на b, а b делится на c, то и a делится на c. Попробуйте это доказать исходя из определения слова «делится». Никакие два соседних числа (т. е. n и n +1) не могут делиться на одно и то же число, кроме как на единицу (почему?). Числа, делящиеся на 2, называются чётными, все остальные – нечётными. В натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… нечётные и чётные числа чередуются друг с другом. Сумма любого количества чётных чисел есть чётное число (почему?). А вот при суммировании нечётных чисел чётность результата зависит от чётности количества слагаемых: если это количество чётно, то и сумма будет чётным числом, а если оно нечётно, то и сумма окажется нечётной (почему?).

Число называется простым, если обладает двумя свойствами: во-первых, оно больше единицы; во-вторых, оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Вот первые 7 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Упражнение для читателей: найдите несколько следующих простых чисел. (И ещё одно упражнение: ответьте на вопрос, сколько существует чётных простых чисел.) Числа, бóльшие единицы и не являющиеся простыми, называются составными.

Две проблемы о совершенных числах

Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 – эти числа 1, 2, 3, 6 образуют полный список делителей числа 6. Если из этого списка удалим само число 6, а остальные сложим, получим то же самое число 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Его делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28, и только они. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI в. до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой всех своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Мистический восторг пифагорейцев перед совершенством совершенных чисел продолжался и в учениях христианских отцов церкви. В V в. Блаженный Августин писал в сочинении «Град Божий»:

Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее, наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.

Пифагорейцы знали только три первых совершенных числа. Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 приведены в «Арифметике» Никомаха Герасского[31]. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил выдающийся немецкий математик, астроном и астролог Региомонтан (XV в.). В XVI в. были найдены ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX в., когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

Про первые 45 из известных совершенных чисел известно, что они идут без пропусков. Это значит, что если занумеровать совершенные числа в порядке их открытия, то, скажем, между 40-м и 41-м числами совершенных чисел нет. Но про последние четыре открытые числа это неизвестно. Так что между 45-м и 46-м совершенными числами могут оказаться другие совершенные числа, равно как между 46-м и 47-и, между 47-м и 48-м, 48-м и 49-м. Можно сказать, что каждое совершенное число имеет два номера – один абсолютный и другой хронологический. До сих пор мы имели дело с хронологическими номерами – это те номера, которые присваиваются числам в порядке их открытия. Абсолютный номер – это порядковый номер совершенного числа, если совершенные числа выстроить в порядке их возрастания. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше – неизвестность.

Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II в. н. э. К октябрю 2008 г. было обнаружено 46 совершенных чисел; для записи наибольшего из них требуется 25 956 377 десятичных знаков. К настоящему моменту (август 2017 г.) известно уже 49 совершенных чисел. Самое большое известное совершенное число имеет вид 274207280 × (274207281 − 1) и содержит в своей записи 44 677 235 десятичных знаков.

Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот первая, простая по формулировке, но не решённая до сих пор, проблема: существуют ли нечётные совершенные числа?

Может ли случиться, что 49-е совершенное число – последнее не только из найденных к настоящему времени, но вообще из всех существующих? Может быть, оно самое большое из всех и совершенных чисел, бóльших его, уже нет? Никто не знает, эта проблема тоже до сих пор не решена. Однако