В рамках разработки и адаптации задач, ориентированных на успешное изучение математики, существует шесть вопросов, которые повышают эффективность работы, если ставить их и действовать в соответствии с ними. Некоторые задачи лучше подходят для конкретных вопросов; многие задачи и вопросы сочетаются естественным образом. Но я уверенно могу сказать: уделив внимание хотя бы одному из следующих шести вопросов, можно сделать задачу более содержательной.

1. Можете ли вы раскрыть задачу так, чтобы она стимулировала применение разных методов, путей и способов представления?

Учителя способны раскрыть задачи так, чтобы стимулировать учеников к размышлениям над разными методами, путями и способами представления. Раскрывая задачу, мы усиливаем ее учебный потенциал. Это можно сделать разными способами. Включить требование о визуальном представлении (как в задачах с растущими фигурами и с отрицательным пространством) — отличная стратегия. Еще один очень эффективный способ состоит в том, чтобы предложить ученикам придать своим решениям смысл.

Кэти Хамфриз — замечательная учительница. В книге, которую мы с ней написали вместе, представлено описание шести видео с записью того, как Кэти проводит уроки в своем седьмом классе, а также планы этих уроков. На одном из них показано, как Кэти предлагает ученикам решить такую задачу: 1 разделить на 2/3. Это мог бы быть закрытый вопрос, ориентированный на фиксированное мышление, с одним ответом и одним методом. Но Кэти изменила задачу, включив в нее два задания: придать своему решению смысл и представить визуальное доказательство. Кэти начинает урок так: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить задачу, но сегодня оно не имеет значения; я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл».

На видеозаписи урока видно, что некоторые ученики предложили ответ 6. Ведь множеством цифр (таких, как 1, 2 и 3) можно манипулировать без математического осмысления и получить 6. Однако детям не удалось представить решение в виде рисунка и объяснить его смысл. Другие смогли показать, почему единица содержит полтора числа 2/3, с помощью разных вариантов визуального представления. Требование представить свои размышления в виде рисунка и наполнить ответ смыслом изменило характер задачи. Теперь она ориентирована не на фиксированное мышление, а на мышление роста. И мы провели замечательный урок, на котором царила атмосфера осмысления и понимания.

2. Можете ли вы превратить задачу в исследование?

Когда ученики считают, что во время урока они должны не воспроизводить методы, а выдвигать идеи, это все меняет (Duckworth, 1991). Один и тот же материал можно объяснять, ставя вопросы о процедурах или вопросы, которые побуждают размышлять над идеями и применять процедуры. Например, вместо того чтобы предлагать ученикам вычислить площадь прямоугольника 12 × 4, спросите их, сколько прямоугольников площадью 24 они могут найти. Это меняет мотивацию и уровень понимания. В варианте, ориентированном на исследования, ученики используют формулу площади прямоугольника, и вдобавок им нужно поразмышлять о размерностях и пространственных отношениях, а также о том, что произойдет при изменении одной размерности (рис. 5.17). Такое изучение математики более комплексно и увлекательно, поскольку ученики используют свои идеи.

Рис. 5.17. Прямоугольники с площадью 24

Вместо того чтобы предлагать ученикам назвать четырехугольники с разными свойствами, попросите их придумать свои четырехугольники, как показано в примере 5.5.

Четыре четверки — еще одна замечательная задача (пример 5.6). Вы предлагаете ученикам образовать все числа от 1 до 20 из четырех четверок и любой математической операции, например: √4 + √4 + 4/4 = 5.

Это превосходное задание на применение математических операций, но оно ничем не напоминает задачу на отработку математических операций, поскольку операции изящно встроены в нее. Когда мы выложили эту задачу на youcubed.org, учителя сказали нам, что она очень увлекательна. Вот комментарии двух наших посетителей.

Полное описание задачи на YouCubed содержит рекомендации по способам постановки задачи и организации работы учеников; см. https://www.youcubed.org/wim-day-1.

Еще один способ превратить задачу в исследование — предложить ученикам написать статью, информационный бюллетень или небольшой рассказ о ней. Такая схема применима к любому материалу. В девятом классе школы Рейлсайд ученикам поручили написать книгу по теме y = mx + b; ученики исписали много страниц объяснениями того, что значит это уравнение, как его представить в графическом виде, когда его можно использовать и каковы их идеи по поводу его значения. Во время учебного модуля по геометрии в средней школе, который я разработала со своими студентами из Стэнфорда (Дэном Мейером, Сарой Селлинг и Кэти Сан), мы предложили ученикам написать информационный бюллетень о подобии, используя фотографии, задачи, анимацию и любые другие средства, которые помогут показать, что они знают об этой теме. В примере 5.7 представлена общая форма задания с информационным бюллетенем, которые мы разработали.