2. Мальчики восприняли задачу как головоломку, поэтому им было интересно искать решение. Вопрос не касался «реального мира» или жизни мальчиков, но увлек их. В этом и состоит сила абстрактной математики: она подразумевает открытое мышление и установление связей.

3. Рассуждения на визуальном уровне помогли мальчикам понять, как растет закономерность в задаче. Мальчики увидели, что представленная фигура растет как квадрат со стороной (n + 1), рассмотрев рост закономерности визуально. Они искали сложное решение, но были уверены в себе: им помогало визуальное представление происходящего.

4. Мальчиков воодушевило, что каждый из них разработал свой способ визуального представления роста закономерности и все они нашли правильные методы, раскрывающие разные аспекты решения. Мальчики с воодушевлением поделились своими мыслями друг с другом и использовали свои идеи и идеи других при решении задачи.

5. Урок был организован так, чтобы ученики стремились предлагать идеи без страха совершить ошибку. Это позволило мальчикам двигаться дальше, когда они «застревали», предлагая идеи (и правильные, и ошибочные), которые позволят продолжить обсуждение.

6. Мы научили учеников уважать мнение друг друга. Мы призывали отдавать должное широте мышления каждого ученика, а не процедурному мышлению отдельных детей, а также давали высокую оценку разным способам визуального представления задач и установления связей.

7. Ученики использовали свои идеи, а не придерживались метода, взятого из учебника по алгебре. Они предложили разные идеи по поводу визуального представления роста функции, поэтому им было еще интереснее решать задачу.

8. Мальчики работали вместе. На видео заметно, как мальчики поняли друг друга, делясь идеями в процессе обсуждения, и получили еще большее удовольствие от работы.

9. Работа мальчиков носила смешанный характер. Люди, которые смотрят это видео, отмечают, что каждый ученик предлагает что-то особенное и по-своему важное. Сильный постоянно выкрикивает догадки по поводу чисел (эта стратегия могла бы быть полезной для сугубо процедурных вопросов), а слабые подталкивают его к тому, чтобы он размышлял на визуальном и более концептуальном уровне. Именно такое сочетание разных способов мышления помогает мальчикам и приводит их к успеху.

Как правило, в задачах на рост закономерности ученикам задают числовые вопросы вроде «Сколько кубиков на шаге 100?» и «Сколько кубиков на шаге n?» Мы тоже поставили ученикам такие вопросы, но только после того, как они поработали над задачей сами, чтобы они проанализировали рост фигуры на визуальном уровне. Это изменило все.

Как показано на рис. 5.3–5.10, люди представляют себе рост фигуры разными способами. Не предлагая ученикам мыслить визуально, мы упускаем прекрасную возможность помочь им лучше понять происходящее. Ниже показано, как учителя и ученики, с которыми я работала, представляют себе рост фигуры, и приведены названия, которые они использовали для обозначения своих вариантов.

Рис. 5.3. Метод дождевых капель — кубики падают на столбцы с неба, как капли дождя

Рис. 5.4. Метод боулинга — кубики расставляются, как кегли на дорожке для боулинга

Рис. 5.5. Метод вулкана — средний столбец растет в высоту, а остальные растекаются, как лава из вулкана

Рис. 5.6. Метод расхождения вод Красного моря — два столбца расходятся, и между ними появляется еще один

Рис. 5.7. Метод подобных треугольников — уровни можно рассматривать в виде треугольников

Рис. 5.8. Метод сечения — уровни можно рассматривать по диагонали

Рис. 5.9. «Лестница в небеса: в доступе отказано» — из фильма «Мир Уэйна»

Рис. 5.10. Метод квадратов — любую фигуру можно перегруппировать, сделав из нее квадрат

Недавно я дала эту задачу на рост закономерности группе учителей старших классов, которые не стали тратить время на визуальное представление роста фигуры, составив вместо этого таблицу значений.

Когда я попросила учителей объяснить, почему эта функция возрастает по квадратичному закону, они не смогли ответить. Но мы видим здесь квадратичную функцию вот почему: фигура растет как квадрат со стороной (n + 1), где n — номер шага (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Метод квадратов 2

Если мы не предлагаем ученикам проанализировать рост фигуры визуально, они не могут понять важные аспекты роста функции. Часто они не способны сказать, что означает n, и алгебра остается для них тайной: набором абстрактных символов, которые они переставляют на странице с места на место. Наши ученики летней школы знали, что представляет собой n, поскольку сами его нарисовали. Они знали, почему функция растет по квадратичному закону и почему n-й шаг представлен в виде (n + 1)2. Алгебраическое выражение, которое ученики в итоге составили, имело для них смысл. Кроме того, они не считали, что ищут стандартный ответ; они полагали, что исследуют разные методы и используют свои идеи, в том числе способы визуального представления математического роста. Ниже пойдет речь о том, как свойства данной задачи можно использовать в других задачах, чтобы повысить вовлеченность и понимание учеников.

3. Пора рассказать?

Когда я рассказываю учителям об открытых, исследовательских задачах по математике, например задаче о росте фигур или «дождевых каплях», о которых шла речь выше, они часто спрашивают: «Я понимаю, что эти задачи увлекательны и рождают интересные математические дискуссии, но как ученикам осваивать новые концепции, например тригонометрические функции? Или как разлагать числа на множители? Они не могут открыть это для себя самостоятельно». Это обоснованный вопрос, и поиску ответа на него посвящен ряд важных исследований. Идеальные математические дискуссии — те, в ходе которых ученики используют математические методы и концепции для решения задач. Но иногда учителям нужно познакомить учеников с новыми методами. На большинстве уроков математики применяется стандартный подход: учителя объясняют методы, а ученики отрабатывают их, решая задачи из учебника. На уроках математики более высокого уровня ученики выходят за рамки отработки конкретных приемов и используют их для решения прикладных задач, но порядок сохраняется: учителя объясняют методы, а ученики применяют их.