В соседних странах за государственным образованием крымских татар закрепилось название «Крымское ханство» от названия столицы государства в городе Солхат – Крым. Литовцы, поляки и московиты использовали также названия «Перекопская орда» и «Перекопская Татария», калькируя перевод либо названия столичного города «Крым» («ров», «перекоп»), либо главного крепостного пограничного укрепления на входе на полуостров «Ор» (также «ров», «перекоп»). В европейских источниках по отношению к Крымскому ханству использовали также обозначение «Малая Татария», противопоставляя его «Большой (Великой) Татарии» – Монгольской империи Чингизидов, охватившей некогда все пространство необозримой Евразийской степи.

Крымскими ханами всегда были представители рода Гераев, которые с середины XVI в. носили титул Великий Хан Великой Орды, Великого Юрта, престола Крыма и Кыпчакской степи, всех татар, неисчислимых ногаев, татов, тавгачей и горных черкесов. Уже хан Менгли Герай после победы в 1502 г. над последним ханом Большой Орды Шейх-Ахмедом начал титуловать себя также «падишахом» и «императором всех монголов». Великие князья литовские и великие князья московские, платившие крымским ханам поминки и получавшие у них ярлыки на русские земли и города, признавали за крымскими правителями императорский статус и титуловали их «царями крымскими» или «царями перекопскими» (Caesar Praecopensis).

Основные принципы государственного устройства Крымского ханства явились продолжением традиций Золотой Орды и были типичными для степных империй. Государство в них принадлежало находящемуся у власти хану, который имел право управлять им по собственной ничем не ограниченной воле. Сам же он принадлежал к правящей династии, в случае Крыма – династии Гераев, которая являлась своеобразным коллективным владельцем государства.

«Гераи» – «уважаемые», «достойные», «почтенные», «подобающие», «истиннейшие», «правильные». Олекса Гайворонский считает, что произношение этого родового имени в языке крымских татар менялось со временем – от более архаичного кыпчакского Гирей до более позднего османского Гирай. Иностранные же источники отразили в своем написании тот вариант, который был ближе к разговорному в то время, когда дипломаты той или иной страны завязывали интенсивные контакты с Крымским ханством.

Так, в Литве, Польше, Московии и Генуе, которые контактировали с Крымом уже в XV в., употреблялись написания «Кирей», «Керей», «Кгирей», «Гирей», «Kirei», «Girej», «Oierej», «Gerej», «Charei», «Carei». А в документах стран, завязавших отношения с крымским ханством с конца XVI в. и позже (вплоть до конца XVIII в.), использовались формы написания вроде «Gerai», «Girai», «Gheray», «Gueray», «Guiray», «Giray». В современной русскоязычной литературе принято использовать написание «Герай», наиболее отвечающее эталонному османскому произношению, хотя более правильным, судя по данным исследований современных лингвистов, было бы написание «Герэй».

Согласно преданию, имя основателя династии Хаджи и родовое имя Герай появились следующим образом: «Во время царствования деда Хаджи Герая, Таш-Тимура, он по их обычаю поручил воспитание сына своего Гыяс-эд-Дина одному из своих ветеранов, главе племени Герай, по имени Девлет-гэльди, и упомянутого суфи сделал дядькой в смысле атабека. Добродетельный суфи отправился в хадж (на богомолье в Мекку). Так как возвращение его совпало с рождением Хаджи Герая, то отец последнего Гыяс-эд-Дин, в память паломничества своего аталыка и в честь его племени, нарек сына Хаджи Гераем. Когда со временем Хаджи Герай сделался ханом Крымским, добродетельный старец суфи был еще жив. Хаджи Герай-хан, желая почтить его воспитательские достоинства, сказал ему: «На какую бы ты милость рассчитывал от нас?» Но так как добродетельный суфи был человек неискательный, то он ради доброй памяти попросил хана присовокупить имя его племени «Герай» к именам происходящих из ханского дома султанов. Хан согласился на его просьбу, и до сего времени следовали этому обычаю». Из сказанного можно сделать вывод, что имя (прозвание) «Хаджи», которое можно перевести как «паломник», получали у мусульман лица, совершившие богоугодное благочестивое паломничество – хадж в Мекку.

Действительно, согласно одному из предположений, династическое имя могло происходить от названия одного из монгольских племен «киреит» (где «кэрэ» в переводе означает «ворон», а «-т-» является показателем множественного числа – «вороны»).

Не исключено, впрочем, и то, что «Герай» было личным прозвищем, которое означало полушутливое «крепышок» – «богатырчик» (от «кер» – «большой», «огромный», «гигантский», иносказательно – «самое сильное существо», «богатырь», «крепыш» и уменьшительного суффикса «ей»). Имя Герай могло быть личным и достаточно распространено в тюркской и монгольской антропонимии. Как мы уже упоминали, означало оно при этом «упорный», «стойкий», «достойный», «заслуженный», «обладающий правами». Встречается в источниках и версия о том, что династическое имя было принято ханом Хаджи в благодарность за свое спасение: у пастуха с таким именем будущий правитель вынужден был скрываться в трудные годы гонений и скитаний. Наконец, некоторые исследователи видят связь имени Герай с греческим словом «кириос» – «господин, владыка». В звательном падеже оно звучит как «кирие» и могло употребляться в качестве вежливого обращения. Именно в такой форме оно могло быть воспринято и заимствовано будущим основателем династии, подобно тому, как турецкий язык заимствовал греческое слово «эфенди».

Рассмотрев все эти версии, мы все-таки вынуждены будем согласиться с османским автором Мюнедджим-баши, заметившем о Хаджи Герае: «Он же присовокупил в конце своего имени и слово “Герай”; но зачем он присоединил это слово, и отчего это стало после него необходимо и детям его, причина этого нам неизвестна»

Именно представители династии Гераев, а также высшие знатные сановники – карачи-беи в случае Крыма – имели право выбирать нового хана, руководствуясь традиционным принципом, согласно которому власть должен был получить не старший сын правившего хана, а вообще самый старший представитель правящей династии. Своего преемника мог заранее назначить ранее правивший хан. Власть могла также быть закреплена за новым правителем согласно неписанной жестокой и кровавой степной традиции «открытого престолонаследования», когда в борьбе за престол побеждал наиболее хваткий, жестокий и изворотливый претендент, умудрявшийся истребить всех главных претендентов на престол – собственных братьев, дядей и племянников. Наследование, таким образом, происходило по праву сильнейшего, а сама по себе победа над соперниками в борьбе за власть означала небесную санкцию (харизму, «кут») на занятие престола.

В Крымском ханстве, впрочем, эти принципы были вскоре отодвинуты на второй план из-за усилившегося влияния османов, которые уже начиная с XVI в. вмешиваются в процесс выбора хана и напрямую назначают его из Стамбула. Прецедент прямого вмешательства султана в вопрос воцарения нового хана появился благодаря самим крымским беям, обратившимся после смерти Мехмед Герая в 1523 г. к османскому султану Сулейману І Великолепному (1520–1566 гг.) с просьбой прислать на правление в Крым Саадета Герая. Впоследствии османы сполна воспользовались возможностями самовольно утверждать хана, открывшимися перед ними благодаря этому недальновидному поступку татарской знати. Окончательно эта практика закрепилась с конца XVII в. Как образно характеризовал эту практику Сейид-Мухаммед-Риза, Блистательная Порта была «базаром товаров, составляющих предмет стремлений жителей семи климатов, на котором за деньги стараний и хлопот приобреталась одежда, служащая украшением ханов».