В 1913 году Кантор вышел на пенсию. В последние годы жизни из-за Первой мировой войны он столкнулся с нехваткой питания. Из-за войны же широкое празднование, которое его немецкие коллеги планировали устроить по случаю 70-летая ученого, вследствие экономического кризиса свелось к небольшой вечеринке в узком дружеском кругу. В июне 1917 года Кантор в последний раз оказался в психиатрической клинике в Галле, где и скончался от сердечного приступа 6 января 1918 года.

В Галльском университете установлен памятник в виде большого бронзового куба. Каждая из четырех его граней посвящена профессору, работавшему в этом учебном заведении.

Одна из них, разумеется, — дань уважения Кантору. На ней изображен рельефный портрет ученого, а справа высечена надпись: «Георг Кантор, математик, создатель теории множеств, 1845-1918». Под портретом стоит равенство с = 2X0 , где с — первая буква латинского слова «континуум» (continuo), обозначающая мощность вещественных чисел. Справа от равенства — схема доказательства счетности всех рациональных чисел. Наконец, под равенством с = 2X0 приведена фраза из статьи Кантора 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».

Но нам не нужен монумент, чтобы помнить о Канторе, потому что он ясно говорит с нами со страниц своих писем и статей.

Пока существует математика, он будет жить в своей теории бесконечности.

КОНЦЕПЦИЯ ФРЕГЕ

Что же произошло с парадоксами теории множеств? Как они были решены и были ли? В 1880-е годы Дедекинд, а позже и Кантор предложили определять натуральные числа и операции между ними на основе понятий теории множеств. Это предложение было равнозначно тому, чтобы обосновать все области математики теорией множеств. Как возможно, что исчисление остается основанным на понятиях множеств, если натуральные числа определяются исходя из этих же понятий? Это объясняется тем, что на основе натуральных чисел можно определить целые, а целые, в свою очередь, определяют рациональные, рациональные — вещественные (говоря языком теории множеств), а вещественные являются основой исчисления.

Немецкий логик и математик Готлоб Фреге (1848-1925) задумался над той же задачей: привести всю математику к понятиям теории множеств. Таким образом он соглашался с Кантором и Дедекиндом, но стиль его математической аргументации был другим. На протяжении веков образцом математических рассуждений было сочинение Евклида «Начала» — фундаментальный труд по древнегреческой геометрии, созданный в III веке до н.э. Логическая структура «Начал» опирается на аксиомы — утверждения, которые считаются верными без доказательства, а на основе аксиом посредством логических рассуждений выводятся все остальные истины, в данном случае геометрические свойства.

Евклид разделил свои аксиомы на две группы: к первой относятся постулаты, утверждения о конкретных геометрических объектах, а ко второй — так называемые «общие понятия», общие правила логики, которые можно применить к любой ситуации, не только в геометрии. Примером общего понятия является утверждение, что если два объекта равны третьему, это значит, что они равны между собой (см. рисунок).

Система аксиом Евклида относится не только к геометрическим объектам как таковым, а дает нам и более общие правила для объектов. Другими словами, система аксиом говорит не только о свойствах геометрических объектов, но и позволяет нам сделать выводы из этих свойств.

Теория множеств Кантора, на которую опирался и Дедекинд, не имела такой изящной логической структуры: в ней не было аксиом. В отличие от Евклида, Кантор не составил никакого списка фундаментальных свойств, на которых основывал свои доказательства. Он ограничивался тем, что давал определения (например, ординальных чисел), часто используя разговорный язык, и на их основе делал выводы, продиктованные ему более или менее интуитивной логикой. Для Фреге это было неприемлемо. Он считал, что теория множеств должна иметь евклидову структуру, то есть начинаться с четкого и ясного списка определений и аксиом (а также общих понятий), чтобы на их основе можно было строго вывести все утверждения теории.

Некоторые общие понятия Евклида и их перевод на язык современной математики.

Но Фреге пошел еще дальше: он сожалел, что в математике вообще, а не только в теории множеств, использовался разговорный язык и что в ней часто взывали к «практическому разуму», что он называл «психологизмом». Он считал, что у математики должен быть свой особый язык со специально созданными для него символами и правила логической дедукции (по которым, исходя из определенных посылок, мы можем прийти к неким выводам) должны выражаться с максимальной точностью, используя этот язык.

Как мы сказали, эта обеспокоенность Фреге «психологизмом» относилась к математике вообще, а не только к теории множеств, его первые предложения по созданию математического языка были сделаны еще до нее. Тем не менее, когда во второй половине 1880-х годов одновременно с Дедекиндом Фреге задумал обосновать всю математику теорией множеств, он сконцентрировался на применении созданного им языка именно к этой теории. Ученый посвятил годы разработке символов и правил четкого языка и впервые рассказал о нем в своей книге Begriffsschrift («Исчисление понятий») 1878 года. Язык Фреге отличается от привычного нам со всех точек зрения, в записи он больше похож на линейный рисунок, чем на текст. Возможно, так было задумано специально, чтобы как можно больше отдалить математический язык от разговорного. Тем не менее это имело негативное последствие, так как предложенную систему было чрезвычайно трудно понять, и сочинение Фреге не получило такого распространения у заинтересованной публики, какое могло бы.

ПАРАДОКС РАССЕЛА

В 1902 году Фреге только что отправил в печать второй том своих «Основ арифметики» (в этой работе он развивал идею основания математики на теории множеств), когда получил письмо от английского логика Бертрана Рассела (1872-1970). Оно было отправлено 16 июня 1902 года из Фрайдей Хилла (Хаслмир, Великобритания) и занимало чуть меньше страницы. Рассел писал, что прочитал первый том «Основ», хвалил его и заявлял, что полностью разделяет задумку Фреге. «И тем не менее, — добавлял Рассел, — я нашел небольшое осложнение».

В чем же оно состояло? Одна из аксиом, которую Фреге подводил под теорию множеств, заключалась в так называемом принципе выделения. Другими словами, согласно ей, каждому свойству соответствует множество, состоящее из всех объектов, которые обладают этим свойством. Например, свойство «быть книгой по математике» соответствует множеству, образованному всеми книгами по математике; свойству «быть рациональным числом» соответствует множество всех рациональных чисел и так далее. В письме Фреге Рассел сформулировал следующий вопрос: что произойдет, если мы рассмотрим свойство «быть множеством, которое не является членом самого себя?»

По аксиоме Фреге, говорит Рассел, этому свойству соответствует множество — назовем его F, — образованное всеми множествами, которые соблюдают параметр не быть членами самих себя. Таким образом, вопрос звучит так: «F — член самого себя?»