7. Если дано произвольное множество, всегда существует множество, образованное его частями (см. главу 5).

8. Если дана семья — конечная или бесконечная — непустых множеств (то есть каждое из них содержит как минимум один член), всегда существует множество, которое содержит по члену из каждого множества этой семьи (см. рисунок на следующей странице).

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Аксиома 9 подразумевает, что универсального множества не существует, потому что оно содержало бы само себя, а аксиома это запрещает. Действительно, если записать аксиомы подходящим символическим языком, то можно доказать, что, исходя из аксиомы 6, универсальное множество даже не может быть определено. Парадокс Кантора возникает, когда речь заходит именно о мощности универсального множества. Но если его не существует, то нет и парадокса.

Парадокс Рассела связан с множеством F, образованным всеми множествами, которые не являются членами самих себя. Но аксиома 9 гласит, что все множества соблюдают условие, определяющее F; следовательно, F будет множеством всех множеств. Но поскольку оно и само является множеством, по аксиоме 9, то не может существовать (на самом деле, как и в случае с универсальным множеством, можно доказать, что даже нельзя определить теоретически). А раз оно не существует, то не будет и парадокса Рассела.

Парадокс Бурали-Форти решается аналогичным способом — через доказательство того, что множества всех ординальных чисел не существует.

Схема, объясняющая аксиому выбора. От каждого множества выбирается по члену и из них формируется новое множество.

РЕШЕНИЕ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ

Несмотря на успех ZF, в XX веке были предложены и другие системы аксиом для теории множеств. Обычно они обозначаются инициалами ученого, который сформулировал их первым. Так, существует система NBG (Джона фон Неймана, Пола Бернайса и Курта Гёделя) и система МК (Роберта Ли Морза и Джона Лероя Келли). Эти системы не равнозначны. Это не просто разные формулировки одной и той же идеи — различия лежат в самих их основаниях. В частности, не все системы предлагают одно и то же решение парадоксов. Самой популярной система ZF стала отчасти потому, что она же и самая простая, но и у других есть свои сторонники. Прочие системы сводятся к тому, что множеств, которые Кантор называл «недоступными», не существует, как в ZF, либо, как в NBG и МК, существование «недоступных» множеств допускается, но провозглашается, что они подчиняются правилам, отличным от других множеств.

Таким образом, современная теория множеств возвращается к идее Кантора о том, что решение парадоксов должно опираться на различие между «доступными» и «недоступными» множествами. Но значит ли все это, что существует несколько разных теорий множеств? И существуют ли недоступные множества? На эти вопросы пока нет ответов, которые бы удовлетворили всех математиков. Обобщая, можно выделить два подхода к их решению: платонизм и формализм.

Платонизм — это течение, согласно которому математические объекты действительно существуют вне зависимости от человеческого разума, и сущность работы математиков состоит в том, чтобы открыть характеристики этих объектов. Согласно данному подходу, есть одна верная теория множеств. Тот факт, что на сегодняшний день существует несколько систем аксиом, говорит о том, что математики пока не смогли определить, какая из них является верной. Платоники считают, что как только будет определена настоящая теория множеств, то, что она будет говорить о недоступных множествах, и станет правдой.

Формалисты, напротив, полагают, что математика — плод человеческой мысли и во многом похожа на музыку или литературу. Согласно этой точке зрения, математика, в сущности,— это «языковая игра», в которой есть твердые основы, аксиомы и такие же четкие логические правила, позволяющие, опираясь на них, приходить к неким выводам. Работа математика состоит в том, чтобы понять, куда нас ведут правила игры. Она не отличается от того, что делает шахматист, когда ищет удачный ход, находясь на определенной клетке доски.

В рамках формализма вопрос о существовании «недоступных» множеств лишен смысла: по правилам одних систем они существуют, по правилам других — нет; это все, что можно сказать по данной теме. В обоих подходах есть свои нюансы, сильные и слабые стороны, и оба используются сегодня математиками. Спор между платонистами и формалистами — следствие кризиса оснований. Кантор не дожил до него, но если бы он знал об этой дискуссии, чью сторону принял бы? Он полагал, что математики абсолютно свободны в определении понятий и в расстановке приоритетов — с одним лишь условием: в результате не возникает логических противоречий. Такой подход приближал его к формализму. Однако в то же время в некоторых работах он как будто отстаивал мнение о том, что понятия, определенные математиками, имеют собственное объективное существование в разуме Бога. Это сближает его с платонизмом.

Противостояние платонизма и формализма также связано с решением проблемы континуум-гипотезы. Напомним, что она была сформулирована Кантором и утверждает, что 2X0 = X1.

В 1940 году Курт Гедель доказал, что в рамках любой из обычно используемых систем аксиом для теории множеств невозможно доказать ложность этого равенства. А в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934-2007) доказал, в свою очередь, что невозможно доказать и то, что оно верное. Таким образом, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута ни одной из использующихся сейчас систем аксиом. Так верная она или ложная? Для формалистов этот вопрос не имеет смысла: аксиомы — всего лишь правила игры, установленные произвольно, они не описывают никакую внешнюю «истину».

Согласно этой точке зрения, к любой теории множеств можно добавить новую аксиому, которая позволит или подтвердить, или опровергнуть континуум-гипотезу. Платоники же считают, что вне зависимости от наших аксиом равенство 2X0 = X1 является либо объективно верным, либо ложным, и рано или поздно будет найдена такая система аксиом, которая решит этот вопрос однозначно. Таким образом, в рамках формализма этот вопрос закрыт, в рамках платонизма — остается открытым.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

В 1935 году впервые собрался Николя Бурбаки. Эта фраза кажется странной, но в действительности Николя Бурбаки — не человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа преимущественно французских математиков. Целью первой встречи группы было установление способов достижения назначенной цели (над которыми Бурбаки работает и сейчас, хотя члены группы, разумеется, сменились).

Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.