на глиняных табличках, в отличие от свитков папируса, не способствовало созданию длинных текстов. А если такие учебные пособия и создавались, они до нас не дошли. Таблички, на которых записаны длинные тексты, часто разъединялись; отдельные таблички разбивались на куски. Можно сказать, что ученому, который занимается вавилонской математикой, повезло меньше, чем его коллеге, изучающему египетскую математику.

Шумерская система счисления вначале представляла собой смешение десятеричной и шестидесятеричной систем. Похоже, самые древние математики начинали с десятеричной системы, но вскоре осознали, что шестидесятеричная система удобнее. Такой сдвиг, наверняка не случайный, весьма примечателен сам по себе. Шестидесятеричную систему приняли не в чистом виде; последовательность получали, чередуя множители 10 и 6, поэтому: 1, 10, 60, 600, 3600, 36 000 и т. д. (рис. 16). Так как многообразие цифровых знаков ограничивалось клинописью, у шумер имелось лишь два отдельных исходных знака для числительных: V для 1 и 4 для 10, причем первый знак обозначал не только 1, но и 60 в любой степени, а второй значок обозначал не только 10, но и любую степень от 60, умноженную на 10. Таким образом, можно записать, что V = 60я, а 4 = 10 × 60я, где п – любое положительное или отрицательное число или ноль. Таким образом, система счисления была главным образом шестидесятеричной, так как значок для 10 имел подчиненное значение и не было значков для 100, 1000… Сотню записывали как 1, 40; тысячу как 16, 40. Для удобства печатников и читателей в наших примерах вавилонских (шестидесятеричных) числительных мы разделяем разряды запятой, а отрицательную степень от положительной отделяем точкой с запятой; кроме того, мы пользуемся цифрой 0, хотя вавилоняне ею не пользовались. Таким образом, 11, 7, 42; 0, 6 обозначает (602 × 11) + (60 × 7) + 42 + (60-2 × 6) = 40 062,00166.

Абсолютную величину того или иного числа можно было определить только в контексте. Шумеры открыли принцип позиции; поэтому, если в том или ином числительном известна абсолютная величина одного места, величину других мест можно было вычислить. Однако до более поздней эпохи (Селевкидов) у них не было срединного ноля; отсутствие единиц определенного разряда обозначилось пропуском, что вело к неверному истолкованию. Подобные недостатки значительно увеличивали трудность расшифровки математических таблиц.

Рис. 16. Шумерские числительные

Число типа abcdef (без пропусков) следует интерпретировать как а(60)n + b(60)n – 1 + c(60)n – 2 + d(60)n – 3 + e(60)n – 4 + f(60)n – 5, где n может быть 0 или любым положительным или отрицательным целым числом. В целом неясности сокращались или устранялись благодаря последовательности операций. Величина основания 60 также ограничивала выбор: разница между, скажем, длиной в 7 локтей и длиной в 420 или 25 200 локтей настолько огромна, что определенно имелось в виду одно или другое.

Несмотря на свое несовершенство, шумерская система подразумевала некоторую степень арифметической абстракции, что совершенно поразительно. Невозможно понять, как они пришли к такому открытию. Были ли они гениальными вычислителями, которые изобрели такую систему на основании долгого опыта, или система подталкивала их к расчетам постепенно возрастающей сложности и алгебраическим опытам? Может быть, процесс развивался с двух сторон, как часто бывает в истории науки: новые абстракции предполагают новые эксперименты, и наоборот.

Древнейшие шумерские таблички содержат всевозможные числовые таблицы: таблицу умножения, таблицу квадратов и кубов, преобразовав которые получали таблицы квадратных корней и корней третьей степени, обратные таблицы. Если прочесть такую таблицу последовательно, места для двусмысленности почти не остается. Например:

Квадрат 1 составляет 1,

Квадрат 2 составляет 4,

Квадрат 3 составляет 9,

…………………………………

Квадрат 8 составляет 1, 4 (то есть 60 + 4),

Квадрат 60 составляет 60 (то есть 602).

Пока все достаточно просто. Но как счетчики сверялись с отдельными элементами таблицы? Им приходилось соблюдать осторожность, только и всего, и не рассматривать отдельный элемент без соседних. Они могли прочесть «Квадрат 59 составляет 58, 1»; это должно означать (60 × 58) + 1, так как квадрат от 59 должен быть немного меньше квадрата от 60. Выражение «Куб 59 составляет 57, 2, 59» означает (602 × 57) + (60 × 2) + 59.

Особый интерес представляют многочисленные и подробные таблицы обратных величин. После того как шумеры открыли дроби, применение которых построено по тому же принципу, что и применение целых чисел, им в голову пришла гениальная мысль: устранить почти все дроби. Они поняли, что шестидесятеричные дроби – всего лишь вид шестидесятеричных целых чисел, не слишком от них отличающийся (как десятичные дроби – просто вид десятеричных целых чисел, хотя и сейчас некоторые образованные и интеллигентные люди этого не понимают!). Впрочем, в шестидесятеричной системе убираются не все дроби. Как быть, например, с 1/2, 2/3, 3/5, не говоря уже о более сложных? Обстоятельства жизни неизбежно приводят к нешестидесятеричным дробям. Что делать с ними? Свести их к шестидесятеричным можно не всегда. Предоставив еще одно доказательство своей арифметической изобретательности, шумеры подменили дроби обратными величинами. Иными словами, обратные величины позволили им заменить деление умножением. Треть от шестидесяти равна двадцати; они говорили, что обратная величина от 3 – 20; деление на 3 (1/3) можно заменить умножением на 20. Основа 60, которая имеет необычайно большое число множителей (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), настолько хорошо поддается обратным подсчетам, что невольно задаешься вопросом, не пользовались ли шумеры этим базовым числом именно потому, что у него столько множителей. Использование обратных величин настолько вошло у них в привычку, что иногда они из-за этого без нужды усложняли свои подсчеты. Так, они говорили, что треть от 6 локтей – это 6 × 20 = 120 = 2 локтя. Или, если нужно было найти квадрат из 12, они брали обратную величину от 12, которая составляет 5; возводили 5 в квадрат, получая 25, и вычисляли обратную величину от 25, которая составляла 2, 24; конечный результат правилен, но его можно было получить легче. Такая математическая слабость хорошо известна; ее наличие лишний раз доказывает, что древние шумеры были настоящими математиками. Они увлекались своими абстракциями до такой степени, что иногда забывали более простые способы решения.

Вышеприведенные примеры касаются очень маленьких чисел, но шумеры довели свои таблицы обратных чисел до очень больших, вплоть до 6019.

Среди степеней 60 одна попадается в древних таблицах особенно часто, а именно 604