Главные проблемы в области небесной механики возникли после того, как было обнаружено, что планеты не движутся по идеальным эллиптическим орбитам, а скорее покачиваются, двигаясь из стороны в сторону. По мере получения более точных данных становилось все очевиднее, что объекты Солнечной системы отклоняются от идеального пути, и это привело к развитию теории возмущений. Теперь путь планеты рассматривали как результат ее взаимодействия не только с Солнцем, но со всеми остальными планетами. Это сделало математический анализ движения планет невероятно трудным делом, так как теперь приходилось учитывать очень много переменных. Очень подробно рассматривалась задача трех тел: даже для упрощенной системы, состоящей только из Солнца, Земли и Луны, все равно невозможно было получить точное решение. Но затем, в 1747 году, Эйлер разработал новую технику, посредством которой можно было приблизительно вычислить расстояния между планетами в любой момент времени, используя раскрытие тригонометрических рядов.

Леонард Эйлер (1707–1783) — самый плодовитый математик в истории. В Базельском университете ему помогал Иоганн Бернулли. (Семейство Бернулли в течение нескольких поколений давало миру выдающихся математиков, это действительно настоящая научная династия.) В 1727 году Эйлер начал работать в Санкт-Петербургской академии наук, которую незадолго до этого открыла Екатерина Великая. В 1733 году Даниил Бернулли, сын Иоганна, возвратился домой в Базель, оставив кафедру математики в Санкт-Петербурге молодому Эйлеру. Год спустя Эйлер женился. У него родилось тринадцать детей, однако восемь умерли в младенчестве. Позднее он писал, что самые значительные свои открытия сделал, держа ребенка на руках или играя с детьми. У него были серьезные проблемы со зрением — в 1740 году он написал, что один глаз у него не видит, а в 1771 году ученый полностью ослеп. В 1741 году Эйлер принял приглашение Фридриха Великого переехать в Берлин и несколько лет спустя вошел в состав правления недавно основанной Берлинской академии наук. В 1766 году Эйлер возвратился в Санкт-Петербург и, несмотря на слепоту, получил там больше половины своих результатов. В работе ему помогали преданные ассистенты и его феноменальная память.

Математические исследования Эйлера охватывали практически все области математики. Он делал практические работы по картографии, судостроению, составлял календари, занимался финансовыми вычислениями. Но более всего он известен своими работами по математическому анализу и аналитической механике. Особенно известны такие поистине революционные работы, как «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Теория движения твердых тел» (1765) и главный труд, посвященный дифференциальному и интегральному исчислениям. Эйлер создал язык функций, запись ƒ(х), а также внедрил множество общепринятых теперь математических символов, вроде π для обозначения отношения окружности к ее диаметру, е — для базы натуральных логарифмов, i — для обозначения √-1 и знак ∑, для суммы. Он считал, что теория чисел, геометрия и математический анализ должны поддерживать друг друга в процессе моделирования явлений природы.

Теория возмущений позволила получить более точные результаты при вычислении орбит планет, но также привела к тревожному заключению, что планеты вовсе не должны оставаться на тех орбитах, по которым они движутся в настоящий момент. Небольшие колебания легко могут увеличиться, и планета сойдет со своей орбиты — казалось, придется допустить существование ангелов, не позволяющих планетам сойти со своих орбит. (В XX веке выяснилось, что динамику Солнечной системы можно объяснить с помощью теорий хаоса, — см. Главу 24.) Увеличилось число и сложность уравнений, необходимых для описания движения планет. Во Франции аналитические методы предпочли геометрическим, и это привело к огромному числу громоздких уравнений. Аналитический подход наиболее ярко использовал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), создавший систему уравнений, известную как «лагранжиан». В его «Аналитической механике» (1788) на всех 500 страницах не было ни одной схемы. В 1799 году Лаплас издал первый том энциклопедического труда «Небесная механика», в котором особое внимание уделялось теории потенциалов и теории возмущений.

В то время во Франции произошло множество значительных событий, и лишь немногие математики смогли избежать политических беспорядков французской революции. Молодой Огюстен Луи Коши (1789–1857) избежал самых серьезных неприятностей, связанных с революцией, лишь потому, что его семья решила на время покинуть Париж. После окончания Политехнической школы он занимался постройкой портовых сооружений для запланированного Наполеоном вторжения в Англию. Но в основном он хотел посвятить себя математике, и после многочисленных разочарований ему наконец удалось занять пост доцента математического анализа в Политехнической школе.

Производительность Коши была просто потрясающей: основными его трудами были «Курс математического анализа» (1821), и «Лекции по дифференциальному анализу» (1829). Его собрание сочинений составляет приблизительно 27 толстых томов. Но в политическом климате Франции начала девятнадцатого столетия многие плохо воспринимали его верность католицизму, и его отношения с коллегами нередко были довольно напряженными. За то, что Коши поддерживал иезуитов в их борьбе против Академии наук и отказался поклясться в преданности новому режиму, в 1830 году он был лишен всех своих постов и отправился вместе с Карлом X в изгнание. По возвращении в Париж он дважды не прошел конкурс на право занять должность руководителя кафедры математики в Коллеж де Франс, хотя, безусловно, был самым лучшим кандидатом. Лишь в 1848 году, после низвержения Луи Филиппа он вернул свое положение в университете. Между 1840 и 1847 годом Коши издал свой четырехтомный труд «Упражнения по математическому анализу и математической физике». Коши помог заложить фундамент действительного и комплексного анализа, которые составляют основу математической физики.

Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область, которая стала известна как дифференциальная геометрия, расширила представления об исчислении в трехмерном пространстве. Геометрические объекты, такие, как точки, кривые и поверхности, были описаны в терминах векторов, а динамические понятия, вроде скорости, ускорения и энергии, могли быть описаны функциями и операторами, действующими на эти векторы. В трех измерениях есть три различно описанных векторных оператора: оператор градиента, в котором векторная функция выражается через скалярную функцию f (х, у, z); оператор вращения, который выражает один вектор через другой вектор, и скалярный оператор, который выражает скалярную функцию через вектор. Действительно, поскольку каждую переменную динамической системы можно было бы рассматривать как «размерность» системы, работа Римана с многомерными пространствами сделала дифференциальную геометрию прекрасным средством для моделирования физических систем в рамках одной системы. Максвелл сформулировал свою теорию электромагнетизма именно в нотации дифференциальной геометрии.