Этот результат заставлял думать, что все бесконечные множества чисел на самом деле имеют одинаковую степень. Кантор показал, что это ложное утверждение, при помощи своего знаменитого аргумента диагонализации. Он предположил, что действительные числа между 0 и 1 исчисляемы и могут быть записаны по порядку и выражены как бесконечные десятичные числа: например, 0,2 может быть записано как 0,199 999… Затем он записал число, которое отличалось от первого в первом десятичном знакоместе, отличалось от второго во втором десятичном месте, и так далее. Это новое число отличалось от любого исходного числа, совокупность которых считалась завершенной, и поэтому реальные числа не были исчисляемыми. Множество реальных чисел имеет более высокую степень, чем множество рациональных. Далее Кантор показал, что даже алгебраические числа, которые представляют собой намного более общий класс, чем рациональные, имеют ту же самую степень, что и натуральные числа. Становилось все более очевидно, что континуум реальных чисел «уплотняется» за счет трансцендентных чисел. В определенном смысле большая часть чисел были трансцендентными.

Никто никогда не видел трансцендентное число; их существование было доказано в 1851 году Жозефом Лиувиллем. Лишь в 1882 году Фердинанд Линдеманн доказал, что старое доброе число π — это трансцендентное число, тем самым ответив отрицательно на многовековой вопрос о том, можно ли сделать невозможное, вычислив его с помощью циркуля и линейки. И все же Кантор пришел к еще более ошеломляющим результатам.

В письме к Дедекинду от 1877 года Кантор продолжил доказывать то, что Дедекинд просто принял как данность: то, что степень множества точек на любом линейном сегменте равна степени множества любого другого линейного сегмента. Таким образом, на линии единичной длины находится то же самое число точек, что и на всей числовой оси. Еще более впечатляющим было открытие, что это не зависит от размерности: на линии единичной длины находится такое же число точек, что и на площади со стороной единичной длины, и в кубе со стороной единичной длины — фактически то же самое число точек, как и во всем трехмерном пространстве. Кантор прокомментировал это Дедекинду: «Я вижу это, но я не могу поверить в это». К сожалению, слишком многие разделяли его недоверие.

В 1895 году Кантор письменно изложил свои отточенные представления об изобретении нового вида числа, так называемых трансфинитных кардинальных числах. Он обозначает счетную бесконечность символом אo (произносится как «алеф-ноль»), а первое неисчисляемое множество как אI. Таким образом, это целая бесконечная последовательность трансфинитных чисел, каждое из которых формируется как множество всех множеств предыдущего множества. Кантор также предложил, чтобы набор אI был эквивалентен множеству реальных чисел. Это так называемая Гипотеза Континуума, и она до сих пор не имеет доказательства.

Несмотря на столь новаторскую работу, Кантор так никогда и не реализовал свои амбиции, не сумев получить степень профессора в Берлинском университете. В значительной степени к этому привела открытая враждебность Леопольда Кронекера — его старого профессора. Кронекер активно выступал против новой ветви математики, открытой Кантором, делая заявления вроде «Бог создал целые числа, все остальные — работа человека». Плодотворная дружба с Дедекиндом прекратилась в 1882 году, когда Дедекинд отказался присоединиться к Кантору в Галле, хотя их дружба возобновилась в 1897 году, когда они встретились на конгрессе. Дедекинд, похоже, был вполне удовлетворен уютной провинциальной атмосферой, в которой он жил. Большую часть своего времени он посвящал редактированию собрания сочинений Дирихле и Гаусса — его бывших преподавателей, и Римана — его уважаемого современника. Кантор оставался в университете Галле. В 1884 году он перенес первый приступ умственного расстройства. В более поздние годы депрессии были постоянной темой его писем. Перед самым началом Первой мировой войны он вышел на пенсию и умер в 1918 году в психиатрической больнице в Галле. Конечно, неприятие его работ усугубило его душевное состояние. Но он дожил до того момента, когда его идеи получили законное признание как «самый удивительный продукт математической мысли», по словам Дэвида Гилберта, одного из ведущих математиков начала двадцатого столетия. Гилберт добавил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Работа Кантора плодотворно повлияла на многие ветви математики, включая новый вид теории интегрирования в терминах измерения множеств. Это также помогло проинтегрировать функции Дирихле — ответ b.

Исследование вероятности в том виде, каким мы видим это сегодня, началось лишь в семнадцатом веке, однако изучение комбинаций и перестановки объектов или событий имеет более длинную историю. Огромный интерес к ним был в Индии, особенно у джайнских математиков, работавших в IV веке до нашей эры. Джайнов вдохновляла религия, но большинство более поздних авторов стремилось изучить эти процессы для того, чтобы провести анализ азартных игр — предсказать возможные результаты и вывести правила, которые сделают игру совершенно честной. Поскольку вероятность стала тесно переплетаться со статистикой, появились новые методы анализа данных как в естественных, так и в общественных науках. Хотя эта наука никогда не покидала игорные столы, статистика в эпоху Просвещения стала математическим способом проведения государственной политики и гарантировать моральную и социальную справедливость.

Джайнизм появился в Индии почти одновременно с буддизмом, и его математическая литература относится к третьему или четвертому векам до нашей эры. Джайны выказали особый интерес к работе с числами и к средствам для того, чтобы выразить очень большие количества. Они обсуждали различные типы бесконечных чисел и методы их получения, а также различные способы комбинирования бесконечного числа объектов. Они занимались этими исследованиями, изучая различные способы сочетать пять чувств. Интерес к перестановкам можно увидеть также в ведической литературе — там это выражалось в способах объединения слогов в поэтические произведения и молитвы. В Майсуре в девятом веке джайнский математик Махавир (ок. 850) создал ставшие теперь стандартными правила комбинаций и перестановок.

Исследование комбинаций и перестановок теперь называется комбинаторикой. Космологическое и мистическое использование законов комбинаторики можно увидеть в трудах каталонского философа и мистика тринадцатого века Раймунда Луллия (1232 — ок. 1316), но, похоже, они прошли незамеченными для большинства математиков. Стимулом для изучения комбинаторики стала вполне мирская озабоченность азартной игрой. В «Божественной комедии» Данте упоминается «азартная игра», в которую играют с тремя костями. Один игрок бросает кости, а другой должен сделать предположение относительно их суммы. В поэме тринадцатого века «De vetula», написанной поэтом, известным как псевдо-Овидий, перечисляются 56 различных способов, которыми могут выпасть кости. Обе работы породили различные комментарии относительно математических правил игры. «Предыстория» этого предмета, вероятно, заканчивается трудом Кардано «Книга об игре в кости», изданным после его смерти в 1663 году, но написанным на сотню лет раньше, в котором описывается, как установить правильные ставки и в игре в кости, и в карточных играх.