Можно перечислить еще много видоизменений уравнения Морана. Например, есть версия уравнения Морана для случая, когда коэффициент подобия изменяется в зависимости от положения аргумента преобразования. Но нам пока этого достаточно.

Последнее замечание об уравнении Морана. В некоторых из наших примеров мы сводили его к квадратному уравнению. А что делать, если в результате решения квадратного уравнения мы получим комплексное число? Такого просто не может быть: уравнение Морана всегда имеет решение, причем только одно. См. Приложение А.76 «Фрактальных миров».

А теперь кое-что мелким шрифтом об измерении и размерности.

Если мы попытаемся найти меру фигуры при помощи некоторого объекта размерности меньше, чем размерность этой фигуры, то в ответе мы получим ∞; если же мы проводим измерение при помощи объекта размерности большей, чем размерность исходной фигуры, то в ответе получим 0. Расчеты здесь довольно сложные, но можно проиллюстрировать саму идею на следующем примере. Возьмем в качестве фигуры заполненный единичный квадрат – он, несомненно, двумерен.

Представьте, что для измерения его длины мы пытаемся покрыть квадрат бесконечно тонкой нитью. Такая нить любой конечной длины оставит много непокрытых участков, поэтому для покрытия квадрата нужна нить бесконечной длины.

С другой стороны, квадрат помещается в коробку с основанием в форме единичного квадрата и высотой h для любого h > 0. Объем такой коробки V = 12h = h. По мере того как мы берем всё меньшие значения h, объем коробки приближается к нулю, поэтому объем квадрата равен 0.

А вот теперь то, что написано мелким шрифтом: мы будем рассматривать только ограниченные фигуры. Бесконечно длинная, но узкая полоса на плоскости имеет бесконечную площадь, но является двумерной. Получение бесконечного значения при измерении может быть обусловлено измерением при помощи объекта слишком малой размерности (этот случай нас интересует) или измерением неограниченной фигуры (этот случай нас не интересует). Поэтому остановимся на ограниченных фигурах.

Если пока всё описанное было слишком абстрактно, конкретизируем наши рассуждения на примере треугольника Серпинского. Предположим, что мы строим его на основе прямоугольного равнобедренного треугольника с основанием и высотой равными 1. Вспомним, что площадь треугольника равна 1/2 × основание × высоту, поэтому наш треугольник имеет площадь 1/2. Будем строить треугольник Серпинского другим способом – таким, который позволит легко подсчитать его площадь. Порядок таков: соединим середины сторон заполненного треугольника и удалим получившийся средний треугольник. В результате получим три заполненных треугольника, повторим эту процедуру для каждого из них и так далее.

Мы видим, что исходный (заполненный) треугольник представим в виде объединения треугольника Серпинского и семейства (заполненных) треугольников. Наибольший из этих удаленных треугольников имеет основание и высоту 1/2, поэтому его площадь равна ⅛. Следующие по величине удаленные нами треугольники (их три) имеют основание и высоту ¼, поэтому площадь каждого из них равна 1/32. Продолжая в том же ключе, мы можем вычислить сумму площадей всех удаленных треугольников:

Здесь в предпоследнем равенстве мы использовали формулу суммы геометрической прогрессии: для любого знаменателя r при |r| < 1 ряд 1 + r + r2 + r3 + … сходится к величине 1/(1 – r). Площади удаленных треугольников в сумме равны 1/2, то есть площади исходного треугольника, поэтому площадь треугольника Серпинского равна 0.

Что мы можем понимать под длиной треугольника Серпинского? Первым делом стоит обратить внимание на сумму периметров треугольников. Периметр треугольника Серпинского, возможно, имеет части, которые мы не видим, а может быть, и нет, но давайте посмотрим, о чем нам говорят периметры видимых треугольников. Периметр большого прямоугольного треугольника равен 1 + 1 + √2 = p. Периметр первого удаленного треугольника равен p/2, периметры треугольников, удаленных во вторую очередь, равны p/4 и так далее. Тогда сумма этих периметров равна

Треугольник Серпинского является ограниченным множеством на плоскости с бесконечной длиной, поэтому его размерность > 1, а так как у него нулевая площадь, поэтому его размерность < 2. Поскольку размерность треугольника Серпинского лежит между двумя последовательными целыми числами, она сама не может являться целым числом. Вот так измерения могут сообщить нам что-то о размерности.

Благодарности

Любовь несомненно дороже, чем возможность утраты.

Прежде всего я должен поблагодарить мою тетю Рут Фрейм. Человек невероятно любопытный, она была тем взрослым, кто по-настоящему прислушивался к детским идеям. Она стала первой из тех, кого я потерял. Я был достаточно большим, чтобы понять, что произошло, но еще недостаточно, чтобы переварить слова взрослых о смерти. Когда она умерла, я почувствовал эту утрату в лоб, без прикрас. Это было чистое, парализующее чувство.

Но помимо боли утраты, то, что оказало гораздо большее влияние на выбор моего жизненного пути, была манера, с которой Рути будоражила мое любопытство, показывала мне, что наука – это дорога, на которой даже маленький ребенок может сделать первые шаги. Как бы я хотел, чтобы она увидела, какими стали ее племянницы и племянники. Как бы мне хотелось подарить ей свои книги «Хаос под контролем» и «Фрактальные миры» и сказать, что они стали итогом жизни, которую она когда-то мне показала[134].

Мои родители, Мэри и Уолтер Фрейм; сестра и брат, Стив Фрейм и Линда Риффл, и их супруги Ким и Дэвид; мой племянник Скотт Лотес и его жена Морин Малдун; мой двоюродный брат Мэтт Эрроувуд, его жена Сьюзан и их сыновья Зейн и Уилл; а также я с моей женой Джин Маатта – все мы замысловатым образом сплели наши жизни воедино. Конечно, скорбь является частью жизни каждого из нас, но далеко не только она. Даже в самые плохие дни бывают светлые моменты. И даже в самые лучшие дни, эх…

Пространство повествования возникло в многочисленных беседах с Амелией Урри еще до того, как мы начали работу над «Фрактальными мирами». Восхитительное независимое исследование, проведенное совместно с Кэролайн Каннер и Кэролайн Сидни, заставило нас кое-что подправить в пространстве повествования и осветить множество других аспектов геометрии и литературы. Они стали основой наших рассуждений в четвертой главе.

Выстраиванию особых связей между пространством повествования и скорбью весьма способствовали содержательные и энергичные дискуссии с Ричем и Кайлой Мальюла. Рич – наш ветеринар. Он лечил и продолжает с удивительной заботой лечить наше кошачье семейство.

Мой племянник Скотт указал мне на геометрию сюжета в книге Джона Макфи «Черновик № 4»[135]. Кроме того, мы со Скоттом много обсуждали книги Мураками. Два вдумчивых читателя с двумя разными подходами к любимому автору: я читаю его как геометр и преподаватель, а Скотт – как писатель, фотограф и издатель, – мы оба способны почерпнуть из сложного сюжета весьма несхожие, но одинаково ценные идеи.