по сравнению с геометрией» (Вторая аналитика, I, 27, 87а 35). Арифметика абстрактнее геометрии, так как геометрия требует для своего начала положения в пространстве, а арифметическое начало – единица – «сущность без положения [в пространстве]» (там же).

Аналогичным образом Аристотель оценивает ранг науки, исходя из степени абстракции от материи: «Наука, не имеющая дела с “материальной” основой, – подчеркивает он, – точнее и выше науки, имеющей с ней дело, как, например, арифметика по сравнению с гармонией» (там же, 87а 34).

Итак, аристотелевские представления о математических предметах и тем самым о математике вообще можно резюмировать следующим образом, цитируя самого Аристотеля: «Математика есть некоторая умозрительная наука и занимается предметами, хотя и неизменными, однако не существующими отдельно» (Метафизика XI, 7, 1064а 30–33). Дальнейшее прояснение онтологического статуса математических предметов Аристотель начинает с постановки вопроса: «Каким образом они (т. е. математические предметы. – В.В.) существуют» (Метафизика, XIII, 1, 1076а 37).

Проблема способа существования, характера бытия математических предметов задается Аристотелем во всей остроте апории: с одной стороны, как он подчеркивает, математические предметы не существуют в чувственно воспринимаемых телах, но, с другой стороны, они не могут существовать и отдельно от этих тел (там же, 1076b 12). Критику существования этих предметов в самих чувственно воспринимаемых вещах Аристотель дает во второй книге «Метафизики» (998а 6–19). Ведь в этом случае, рассуждает он, пришлось бы допустить, что два тела могут занимать одно и то же место и отказаться от неподвижности математических предметов, раз они находятся в движущихся чувственно воспринимаемых вещах. Эта точка зрения выражает, по Аристотелю, позицию пифагорейцев, которые считают, что числа не существуют отдельно, а существуют в самих вещах как то, из чего вещи состоят (Метафизика, 3, 1090а 20–24). Несколько иначе та же самая проблема задается Аристотелем и в XI книге «Метафизики»: «Какими же предметами должен заниматься математик?» – спрашивает он. «Ведь, конечно, не окружающими нас вещами, ибо ни одна такая вещь не сходна с тем, что исследуют математические науки», но и ни один из математических предметов «не существует отдельно» (1059b 10–14).

Решение этой проблемы Аристотель вырабатывает на конкретном примере отношения между субстанцией и акциденцией, между сущностью (самосущим бытием) и привходящим бытием (бытием по совпадению). Этот пример («бледный человек») анализируется Аристотелем в плане установления определенной онтологической и логической иерархии и их сопоставления. «Не все, – говорит он, – что первее по определению, первее по сущности» (Метафизика, XIII, 2, 1077b 1).

Некоторое определение первее другого по определению или через определение (κατὰ τòν λόγον), если оно более общее: «Для уразумения через определение первее общее, а для чувственного восприятия – единичное» (Метафизика, V, 11, 1018b 32–33). Кроме того, «для уразумения через определение привходящее первее целого, например: “образованное” первее “образованного человека”, ибо определение как целое невозможно без части, хотя “образованного” не может быть, если нет кого-то, кто был бы образован» (там же, 1018b 34–36). Аналогично разбирается пример и с «бледным человеком»: «Бледное» есть часть определения понятия «бледный человек», и поэтому оно первее его по определению, обладает логической первичностью (λογῳ πρότερον). Но «бледное первее бледного человека по определению, но не по сущности: ведь оно не может существовать отдельно, а всегда существует вместе с составным целым» (XIII, 2, 1077b 6–7). Бледность как привходящее свойство (συμβεβηκός) присоединяется к человеку как сущности (οὐσία). Разобрав этот пример, который служит ему моделью для решения поставленной проблемы о соотношении математических предметов с сущностью (бытием), Аристотель заключает, что математические предметы «первее чувственно воспринимаемых вещей не по бытию, а только по определению» (там же, 1077b 13). Математические предметы уподобляются при этом акцидентальному атрибуту, привходящему свойству («бледное»), а чувственно воспринимаемая вещь, природный индивид выступает как сущность, как бытие («человек» в данном примере). Первичность по бытию (οὐσία πρότερον) означает, что вещи могут существовать отдельно, самостоятельно, «опираясь» на самих себя.

Итак, существование математических предметов оказывается более первичным, чем существование физических предметов по определению, т. е. более первичным в логическом отношении. Однако в онтологическом отношении их существование явно вторичного плана по отношению к существованию физических тел.

Но что же такое предметы математики – точки, линии, плоскости и т. д. – по отношению к подлинным сущностям как физическим телам? Какого рода привходящие свойства этих тел они образуют? На этот вопрос у Аристотеля имеется вполне определенный ответ. Разбирая апории пифагорейского учения о началах, Аристотель излагает свою концепцию математических предметов: «Все они, – говорит он об этих предметах, – суть деления тела или в ширину, или в глубину, или в длину» (Метафизика, 5, 1002а 20). Они не содержатся в телах, подобно тому, как изображение Гермеса не содержится в качестве действительной вещи в камне. Точки, линии, плоскости, фигуры – «следы» деления тел. Эти «следы», или границы, – результаты мысленного деления реально существующих физических тел, они не части тел, из которых тела слагаются. Поэтому математический подход к физике, развитый Платоном в «Тимее», оказывается, согласно Аристотелю, в принципе неправомочным. Нельзя из абстракций составить конкретно сущее физическое тело, ибо из того, что не имеет самостоятельного существования, не могут возникнуть сущности, физические индивиды. «В самом деле, – рассуждает Аристотель, – края не сущности, а скорее пределы (так как для хождения и вообще для движения имеется какой-то предел, то получается, что и они должны быть определенным нечто и некоторой сущностью. Но это нелепо)» (Метафизика, XIV, 3, 1090b 9–12).

Математические объекты аналогичны времени, а именно его «сечению» в «теперь»: «теперь» всегда кажется иным, хотя не может возникать и уничтожаться, не являясь вещью. Эта аналогия правомерна, так как если «теперь» есть сечение времени, то линии и плоскости – сечения тел. «Все они одинаково или границы, или деления», – говорит об этих математических предметах Аристотель (там же, 1002b 10). Не будучи вещами, математические объекты не подлежат изменению и становлению и не могут поэтому его объяснить, т. е. объяснить физический мир, так как движение – его основная особенность. Такое же понимание математических предметов мы находим и в трактате «О возникновении и уничтожении». Линии и точки, – говорит Аристотель, – есть пределы материи, «которая никогда не существует независимо ни от качеств, ни от формы» (GC, I, 5, 320b 18).

Противоположность математических предметов физическим телам особенно четко выявляется Аристотелем на примере с курносым носом (σιμόν), который очень часто используется им для демонстрации принципиального различия физики и математики. «Курносое» есть образец целого класса определений, указывающих на то, определением чего они являются. «Невозможно, – говорит Аристотель, – обозначать курносое, не указывая того, свойством чего оно есть само по себе (ведь курносое – это вогнутость носа)» (Метафизика, VII, 5, 1030b