Но математики продолжали анализировать стратегические игры, чтобы создать теорию, имеющую практическое применение. Эмиль Борель, французский математик, бывший в 1920-х годах военно-морским министром Франции, написал труд, озаглавленный «Теория игр», в котором он проанализировал такие вещи, как блеф в покере и применение математики игр в экономике и политике. Влияние Бореля можно увидеть в такой значительной книге, как «Теория игр и экономического поведения», изданной в 1944 году. Она была написана венгерским математиком Джоном фон Нейманом и австрийским экономистом Оскаром Моргенштерном. Оба этих ученых в то время работали в Принстоне. Они представили теорию игр как возможную модель экономических взаимодействий. Экономисты не спешили хвататься за новую теорию, которая своими корнями уходила в военные стратегии.

Янош фон Нейман (1903–1957), позже известный как Джон фон Нейман, родился в Будапеште и с самого раннего детства демонстрировал феноменальные математические способности. В 1921 году он стал одним из крайне ограниченного числа евреев, поступивших в Будапештский университет, а в 1926 году получил докторскую степень, защитив диссертацию по теории игр, несмотря на то что никогда не посещал лекции. Вместо этого он провел предшествующие годы в Берлине и Цюрихе, изучая химию — предмет, который его отец считал наиболее перспективным с точки зрения выбора карьеры, продолжая математические исследования совместно с такими математиками, как Герман Вейль и Джордж Полья, а позднее учился вместе с Давидом Гилбертом в Геттингене. В 1930 году он отправился в Принстон, и в 1933 году стал одним из пяти первых математиков, поступивших в недавно основанный Институт специальных исследований в Принстоне, где провел большую часть своей жизни. Когда нацисты пришли к власти, он отказался от всех постов в Германии и решил обосноваться в Америке, но не как беженец, а потому, что считал, что там у него будет больше возможностей для работы. С 1940 года он активно занимался научным консультированием по военным вопросам, работал в Лос-Аламосе над проблемами квантовой механики для создания атомной бомбы, а в 1955 году был назначен в Комиссию по ядерной энергии. Вспоминая о днях, проведенных в Цюрихе, Полья рассказывает: «Джонни был единственным студентом, которого я боялся. Если по ходу лекции я упоминал о нерешенной проблеме, то почти всегда он подходил ко мне по окончании лекции с полным решением, накарябанным на клочках бумаги». Нейман умер в 1957 году от рака, и друзья рассказывали о его отчаянии от потери мыслительных способностей после того, как он всю жизнь старательно взращивал их. Самая запоминающаяся из его работ была посвящена теории игр, квантовой механике и методам вычисления.

Самый простой тип игры — игра с нулевой суммой, с двумя стратегиями и двумя игроками — игра, в которой два совершенных, рационально мыслящих игрока стремятся к победе. В этой игре общий счет равен нулю, то есть то, что один игрок выигрывает, другой проигрывает. Забавный пример такой игры — «раздел пирога». Этот сценарий случается во многих домах — надо разделить пирог между двумя детьми так, чтобы ни один из них не считал, что другому досталось больше. Решение — двухступенчатый процесс; один ребенок разрезает пирог пополам, а второй ребенок имеет право первого выбора. Оба ребенка хотели бы кусок побольше, но при разумном предположении, что каждый ребенок понимает жадность другого, это оптимальное решение. Первый ребенок должен разрезать пирог самым справедливым способом, потому что, если одна часть будет намного большей, тогда второй ребенок, без сомнения, выберет именно его. Так называемая минимаксная теория, разъясненная фон Нейманом, гласит, что в этом случае возникает «седловая точка», или оптимальное решение, когда оба игрока будут довольны. Теория была дополнена включением большего числа игроков. Когда число игроков увеличивается, решение задачи становится все более трудным. Большая часть книги обсуждает игры в терминах таблиц выплат игрокам, и, по мере того, как число игроков все увеличивается, таблицы становятся все больше и больше, требуя значительных матричных расчетов.

В 1940-х годах Джон Форбс Нэш дополнил теорию игр фон Неймана играми «с ненулевой суммой». Пример такой игры — фондовая биржа: среди игроков могут быть победители и проигравшие, но общий денежный банк также меняется вследствие увеличения капитализации рынка. Нэш обнаружил, что игры с «ненулевой суммой» также имеют равновесное решение. Он родился в 1928 году в Западной Вирджинии, закончил Технологический институт Карнеги и получил докторскую степень в Принстоне, защитив в 1950 году диссертацию по бескоалиционным играм. Подготавливая докторскую диссертацию, он написал статью, которая, в сочетании с многими другими, стала основанием для присуждения ему в 1994 году Нобелевской премии по экономике. Начиная с 1951 года он занимался преподаванием в Массачусетском технологическом институте, где провел революционную работу, посвященную геометрии, многочленам Римана и евклидовому пространству. В 1959 году этот самый многообещающий из молодых математиков заболел шизофренией. События его жизни и излечение в середине 1970-х годов были описаны им лично на Всемирном конгрессе по психиатрии в 1996 году. Он продолжал создавать выдающиеся работы даже во время пребывания в больнице, занимаясь такими областями математики, как геометрия, топология и дифференциальные уравнения. Он также продолжал заниматься геометрией пространства.

Работа Нэша показала, что есть сценарии, в которых оптимальный результат не является следствием действий, кажущихся наиболее очевидными. Известный пример этого — так называемая дилемма заключенного, изобретенная Мелвином Дрешером и изложенная Альбертом Такером на лекции студентам-психологам. Сценарий при пересказывании изменился, но в его оригинальной форме двое мужчин были арестованы за нарушение закона и помещены в отдельные камеры. Если один из них признается, он будет вознагражден, а второй — оштрафован. Если оба признаются, то оба будут оштрафованы. Если ни один не признается, то они оба будут освобождены. Суть дилеммы в том, что оптимальной стратегией будет сохранять спокойствие, в результате чего оба будут выпущены на свободу, но страх, что такая стратегия может иметь неприятные последствия, если другой человек признается, вполне может вынудить обоих признаться, и тогда оба будут оштрафованы. Именно такие сценарии и стратегические игры используют на переговорах, будь то торговля, военные переговоры, бизнес или работа с персоналом. Экспериментально было выяснено, что люди отлично умеют находить теоретически оптимальные решения, и случайное отступничество ведет к быстрому и неотвратимому возмездию другой стороны — тактика, известная как «зуб за зуб».

Есть игры, в которых существует оптимальная стратегия, и как только она нащупывается, игра становится чрезвычайно тривиальной. Например, крестики-нолики — популярная детская игра, но как только ее стратегия становится понятной и каждый игрок начинает действовать согласно этой стратегии, интерес к игре сразу теряется.

Нэш доказал, что даже шахматы имеют оптимальную стратегию, но эта игра настолько сложна, что оптимальная стратегия все еще не найдена, даже не ясно, будет ли результат ничьей или победой для белых. Если оптимальная стратегия когда-либо будет найдена, шахматы станут столь же тривиальными, как крестики-нолики. Есть ли оптимальная стратегия для применения ядерного оружия? В течение нескольких коротких лет Америка была единственной ядерной державой, но страх, что Россия создаст ядерный арсенал, заставил некоторых мыслителей, вроде фон Неймана и даже Бертрана Рассела, протестовать против первого ядерного удара по России и призывать всемирный парламент добиваться глобального мира. Это не было осуществлено, и мир вскоре перешел к политике сдерживания и взаимно гарантированного уничтожения. Подобные стратегии были разработаны в секретном консультативном органе ученых Корпорации RAND.