инженерные войска; на военной службе пробыл 11 лет и имел славу лучшего фехтовальщика и танцора во всей австро-венгерской армии. При этом он никогда не курил и не пил ничего крепкого, даже кофе. Ни одного достоверного портрета Яноша Бойаи до нас не дошло.

Создавать неевклидову геометрию Бойаи начал в 17 лет, а 3 ноября 1823 г. написал отцу, что открыл удивительные вещи, сотворил другой, новый мир. Но лишь в 1832 г. результаты исследований Бойаи были опубликованы – как тогда было принято, на латыни. Полное название единственного (!) опубликованного сочинения Бойаи таково: «Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica» [ «Приложение. Содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности XI аксиомы Евклида[65] (что априори никогда решено быть не может); с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга»]. «Математический энциклопедический словарь» (М., 1988, с. 669) отмечает, что изложение «отличается крайней сложностью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы». Указанные сложность и схематичность, а также чрезвычайная сжатость (изложение занимало 24 с.) явно не способствовали популяризации идей Бойаи: надо было быть Гауссом, чтобы их понять. Кроме того, трактат не вышел отдельным изданием, а был опубликован в качестве приложения к книге Бойаи-старшего (отсюда и общепринятое краткое название – Appendix, т. е. «Приложение»). Не получив публичной поддержки Гаусса да ещё и узнав о его заявлении, что сообщённое ему открытие он сделал раньше, младший Бойаи впал в полное отчаяние. Он заподозрил Гаусса в попытке украсть его результаты и присвоить приоритет. Но сильнейший удар ждал его впереди. В 1848 г. Бойаи ознакомился с упомянутым выше сочинением Лобачевского Geometrische Untersuchungen, из первых же строк которого явствовало, что русский математик обнародовал неевклидову теорию раньше, в 1829 г. Это доконало Яноша. Он даже заподозрил, что Лобачевский – вымышленное лицо, выдумка хитроумного интригана Гаусса. Это уже был явный симптом психического нездоровья, на которое сдержанно намекает «Математический энциклопедический словарь»: «Открытия Бойаи при жизни признания не получили, что отразилось на его психике».

В геометрии Лобачевского – Бойаи много непривычного для нас, воспитанных на учении Евклида. Например, сумма углов своя у каждого треугольника, и притом она всегда меньше 180°. Достаточно взглянуть на утверждение, использованное Лежандром, и другие приведённые выше равносильные формулировки аксиомы о параллельных, чтобы осознать: ни одно из них не имеет места в гиперболической геометрии (хотя все другие аксиомы евклидовой геометрии выполняются). Вот какое суждение высказал Гаусс в упомянутом письме Тауринусу от 8 ноября 1824 г.:

Предположение, что сумма углов треугольника меньше чем 180°, приводит к странной геометрии, совершенно отличной от нашей, но совершенно непротиворечивой. ‹…› Три угла треугольника становятся сколь угодно малыми, если только стороны взять достаточно большими, хотя площадь треугольника никогда не может превзойти и даже достигнуть некоторого предела, сколько бы большими ни были стороны.

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё-таки истинна – Евклида или Лобачевского. Тот раздел труда Лобачевского «О началах геометрии», который был опубликован в 1830 г. в части XVIII «Казанского вестника» (с. 251–283), начинается такими словами, в которых мы изменили лишь орфографию и пунктуацию:

Изложенная нами теория параллельных предполагает линии с углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится или нет в природе, доказать никто не в состоянии. По крайней мере наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы, что в сравнении с линиею, принятою в данной теории за единицу, употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы.

Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна – значит соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых, как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени, чем бильярдный шар или шарик подшипника. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке либо на бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая гладкая поверхность лишь приближается к идеально ровной, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света и тот искривляется в реальном пространстве. Для формирования же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами, всего лишь похожий на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, являющийся отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», – писал в 1835 г. Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (впервые оно было опубликовано в четырёх номерах «Учёных записок Казанского университета» за 1835, 1836, 1837 и 1838 гг.). Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем сформулировать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что, хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно, существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на этот вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что, говоря о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства.