их не выпустили за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (кажется, единственном российском издании, откликнувшемся на присуждение соотечественнику высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «И [даже] докторская диссертация на подходе».

Относительно недопущения поездки Маргулиса и отсутствия публикаций о его премии свидетельствует М. И. Монастырский[68]:

Как известно, Грише не разрешили поехать в Хельсинки получать Филдсовскую медаль. И это постыдное решение целиком лежит на совести советского математического начальства, а персонально – на И. М. Виноградове и Л. С. Понтрягине, руководителях Национального комитета советских математиков… К слову сказать, у нас (в России) очень любят причитать по поводу недооценки русских учёных на Западе. Но тщательный анализ реальных фактов показывает, что больше всего признанию русских (советских) учёных мешают другие русские (советские) учёные. Сейчас, когда опубликованы соответствующие материалы, известно, с какой яростью протестовал Л. С. Понтрягин против присуждения Грише Филдсовской медали[69]. ‹…› Я… решил популяризировать Гришины работы и написать о них заметку… Б. Н. Делоне, с которым предполагалось опубликовать эту статью, рассказал мне, что Виноградов и Понтрягин, узнав о «крамольной» статье (кстати, от него же), так накричали на него, что он попросил меня убрать статью из уже подготовленного к печати номера [журнала «Природа». – В. У.].

Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 г. Далее излагается рассказ самого Арнольда (надеюсь, что помню его правильно). Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Вручение должно было происходить в августе 1974 г. в канадском городе Ванкувере на очередном XVII конгрессе математиков. Утвердить решение Филдсовского комитета предстояло высшему органу Международного математического союза, его исполнительному комитету[70]. В 1971–1974 гг. вице-президентом исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждения тому Филдсовской медали. В том случае, если Арнольду всё же будет присуждена медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации на конгресс в Ванкувер, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним – интересна, обед – хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только медали Филдса Арнольд тогда не получил – было выдано две награды вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 г. Арнольд исчерпал возрастной лимит.

В 1995 г. Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 г. на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда.

Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 г. великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд., т. 21):

Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой – открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер.

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер – как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Смысл этой устрашающей словесной формулы мы попытаемся разъяснить в следующих главах. В силу особенностей жанра наши разъяснения не будут совершенно точными. В их композиции мы постараемся по возможности учесть заветы Колмогорова, в 1950-е гг. учившего, как надо писать статью для энциклопедии. В ту пору энциклопедическая статья была устроена так: заглавное слово, тире, дефиниция, точка; дефиницией назывался текст, идущий сразу вслед за тире до ближайшей точки[71]. В крайнем случае статья могла этим исчерпываться. Если же автору дают ещё место, то, учил Колмогоров, следует написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем – десятиклассного[72]. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце – даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме в самом конце автор – в качестве премии самому себе – вправе поместить текст, который понимает он один. Этой премии мы себя лишим, но на четырёх- и семиклассное образование тоже не будем ориентироваться.

В заключение предложим в очень огрублённой форме космологическую интерпретацию гипотезы Пуанкаре. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфия» означает некую степень глубинного сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия, то она – в том же самом «известном смысле» – и есть трёхмерная сфера. В отличие от обычной двумерной сферы, т. е. поверхности шара, трёхмерная сфера недоступна нашему непосредственному наблюдению. Однако не исключено, что именно в ней мы все и живём.

Глава 10

От метрической геометрии к геометрии положения

Геометрические фигуры

Следуя принципу Колмогорова, мы начнём с цитаты из классического школьного учебника Киселёва – «кристальной киселёвской "Геометрии"», по словам Солженицына. Боюсь, что читатель XXI в. может и не знать, кто такой Киселёв. Андрей Петрович Киселёв (1852–1940) – великий просветитель в области математики, по его учебникам арифметики, алгебры и геометрии учились многие поколения российских школьников (в частности, те, которым было суждено составить впоследствии славу российской математики). Киселёвым были последовательно подготовлены к изданию «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений» (1884), «Элементарная алгебра» (1888), «Элементарная геометрия» (1892). Эти учебники выдержали десятки изданий до революции и десятки изданий после (в советское время они назывались короче: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»). Следует сказать, что в советское время они подвергались редактированию, подчас значительному, что не всегда делало их лучше[73]. Поэтому цитату мы приведём из § 6 дореволюционного, 1917 г., 26-го издания[74] «Элементарной геометрии»[75] (разбиение на абзацы сохраняем лишь частично):

Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическим телом. Геометрическое тело можно подразделить