В этом и состоит проблема с гипотезами. Мы просто не знаем, справедливы ли они, или же наша интуиция и имеющиеся у нас данные уводят нас от истины. Поэтому мы с маниакальным упорством пытаемся выстраивать последовательности математических операций, которые связывали бы предполагаемый результат с общепризнанными на данный момент положениями.

Но что породило у человечества желание находить такие доказательства? Откуда взялась у человека тяга к созданию математики? Нужно ли запрограммировать в алгоритмы это стремление исследовать мир математики, чтобы они смогли состязаться с математиками на их же поле? Разумеется, история математики начинается с первых попыток человека понять мир, в котором он живет, предсказать, что может случиться в будущем, приспособить окружающую среду под свои нужды. Математика – это средство выживания человека как биологического вида.

Истоки математики

О математиках существует несколько неправильное представление. Многие считают, что я, математик-исследователь, сижу в своем оксфордском кабинете над делением в столбик с точностью до каких-нибудь далеких знаков после запятой или перемножаю в уме шестизначные числа. На самом деле математик вовсе не занимается сверхсложными вычислениями: эту работу гораздо лучше и быстрее делал бы компьютер. Как некогда объяснил мне Г.Г. Харди, работа математика – это, по сути дела, поиск закономерностей. Математика – это наука выявления и объяснения закономерностей. Именно эта способность к выявлению закономерностей дала человечеству преимущество в отношениях с миром природы, потому что она позволяет нам планировать будущее. Люди научились очень хорошо определять эти закономерности, потому что те, кто их не замечал, просто не выжили. Когда кто-нибудь говорит мне (а это случается довольно часто): «Моя голова не приспособлена к математике», я отвечаю, что на самом деле у всех нас развилась способность к математике, потому что наш мозг очень хорошо выделяет закономерности. Иногда даже слишком хорошо: так, многие зрители находили их в раскрашенных случайным образом квадратах Рихтера в галерее «Серпентайн».

Мне кажется, что некоторые из самых ранних примеров распознавания закономерностей появились вместе с самыми первыми произведениями изобразительного искусства. В росписях Ласко есть изумительные фигуры животных, бегущих по стенам пещер. Эти неподвижные изображения поразительно хорошо передают движение бегущего стада туров. Интересно спросить, почему художник считал, что он должен оставить под землей именно эти изображения. Какую роль они играли?

Рядом с этими изображениями можно увидеть, как я считаю, одни из самых ранних математических записей. Предполагается, что нарисованная на стене группа точек изображает созвездие Плеяд, которое находится в летнем небе Северного полушария выше всех остальных звезд. Далее расположена странная последовательность из 13 точек, заканчивающаяся большим изображением оленя с огромными рогами, которое находится над 13-й точкой. После этого идет серия из 26 точек, а в ее конце – изображение беременной кобылы. Что описывает эта абстрактная последовательность точек? Согласно одной из имеющихся гипотез, каждая точка изображает четверть лунного месяца. 13 четвертей лунного месяца образуют четверть года. Возможно, эти точки изображают одно из времен года: они рассказывают зрителю, что время года, начинающееся с момента, когда Плеяды стоят выше всего в небе, – благоприятный сезон для охоты на оленей, потому что в это время у них случается гон и они более уязвимы.

Чтобы передать эту информацию, кто-то должен был заметить, что некая последовательность событий, по-видимому, повторяется каждый год и что закономерности поведения животных соответствуют закономерностям смены фаз Луны. Стремление распознавать такие закономерности, очевидно, имело вполне утилитарные причины. Это открытие было вызвано практической необходимостью.

Здесь мы видим самый первый ингредиент математики – концепцию числа. Способность точно оценивать числа жизненно важна для многих животных. Она позволяет понять, следует ли драться или бежать при встрече с вражеской стаей. Сложные эксперименты, которые проводили с новорожденными цыплятами, показали, что в мозге заложена весьма развитая способность обрабатывать числа. Например, цыплята уже знают, что пять больше двух и меньше восьми.

Но способность давать этим числам названия и представлять их символами – черта чисто человеческая. Часть нашего математического развития касалась разработки удобных способов идентификации или называния этих чисел. Древние майя изображали числа точками. Чтобы записать число, они рисовали соответствующее количество символов. Но в какой-то момент этой системы стало не хватать, потому что отличить пять точек от шести бывает трудно. Тогда кому-то пришла в голову светлая идея: чтобы изобразить пять точек, нужно нарисовать четыре и провести через них линию, в точности так же, как делают заключенные, отмечающие на стене камеры дни, оставшиеся до выхода на свободу.

Римляне использовали систему, в которой числа получали по мере увеличения новые обозначения: буква Х обозначала десять, С – сто, М – тысячу. Древние египтяне тоже обозначали каждый следующий ноль на конце числа новым иероглифом: значок в виде пут для скота означал десять, мерная веревка для обмера полей – сто, цветок лотоса – тысячу. Но, если мы доходим до миллионов или миллиардов, такая система быстро выходит из-под контроля. Для каждого следующего крупного числа требуется новый символ.

Майя, которые производили сложные астрономические расчеты, нуждались в крупных числах, чтобы описывать долгие промежутки времени. Они придумали хитроумную систему, устранявшую те затруднения, которые были в римской. Эту систему, которая называется позиционной системой счисления, мы используем для записи больших чисел и до сих пор. В нашей десятичной системе положение цифры в числе показывает, какой степени 10 она соответствует. Возьмем число 123. В нем есть 3 единицы, 2 раза по 10 единиц и 1 раз 100 единиц. Число 10 ничем не лучше и не хуже любого другого за исключением того, что мы можем считать до 10 на пальцах. У тех же майя были символы для всех чисел до 20 и положение цифры в числе соответствовало степеням 20. Поэтому число 123 в математике майя обозначало 3 единицы, два раза по 20 и один раз 202 = 400, то есть 443.

Майя были не первыми, кому пришла в голову идея, что положение цифры в числе может обозначать степень 10 (или 20 в математике майя), которой эта цифра соответствует. Четыре тысячи лет назад позиционную систему счисления изобрели древние вавилоняне. Однако в Вавилоне считали не двадцатками, как майя, и не десятками, как это делаем сейчас мы: у вавилонян были символы для всех чисел до 59 и только после этого они начинали новый разряд. Выбор 60 был обусловлен высокой делимостью этого числа. Оно делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Это позволяет получить очень удобную арифметику.

Эти математические решения порождались соображениями необходимости, удобства и пользы. Их следы сохраняются и по сей день: мы делим час на 60 минут, а минуту – на 60 секунд. В 1793 году французские власти пытались заставить метрологов отсчитывать время в десятичной системе, но это нововведение, по счастью, не прижилось.